布隆過濾器 (Bloom Filter)是由Burton Howard Bloom于1970年提出，它是一種space efficient的概率型數據結構，用于判斷一個元素是否在集合中。在垃圾郵件過濾的黑白名單方法、爬蟲(Crawler)的網址判重模塊中等等經常被用到。哈希表也能用于判斷元素是否在集合中，但是布隆過濾器只需要哈希表的1/8或1/4的空間復雜度就能完成同樣的問題。布隆過濾器可以插入元素，但不可以刪除已有元素。其中的元素越多，false positive rate(誤報率)越大，但是false negative (漏報)是不可能的。

本文將詳解布隆過濾器的相關算法和參數設計，在此之前希望大家可以先通過谷歌黑板報的 數學之美系列二十一 － 布隆過濾器（Bloom Filter） 來得到些基礎知識。

一. 算法描述

一個empty bloom filter是一個有m bits的bit array，每一個bit位都初始化為0。并且定義有k個不同的hash function，每個都以uniform random distribution將元素hash到m個不同位置中的一個。在下面的介紹中n為元素數，m為布隆過濾器或哈希表的slot數，k為布隆過濾器重hash function數。

為了add一個元素，用k個hash function將它hash得到bloom filter中k個bit位，將這k個bit位置1。

為了query一個元素，即判斷它是否在集合中，用k個hash function將它hash得到k個bit位。若這k bits全為1，則此元素在集合中；若其中任一位不為1，則此元素比不在集合中（因為如果在，則在add時已經把對應的k個bits位置為1）。

不允許remove元素，因為那樣的話會把相應的k個bits位置為0，而其中很有可能有其他元素對應的位。因此remove會引入false negative，這是絕對不被允許的。

當k很大時，設計k個獨立的hash function是不現實并且困難的。對于一個輸出范圍很大的hash function（例如MD5產生的128 bits數），如果不同bit位的相關性很小，則可把此輸出分割為k份。或者可將k個不同的初始值（例如0,1,2, … ,k-1）結合元素，feed給一個hash function從而產生k個不同的數。

當add的元素過多時，即n/m過大時（n是元素數，m是bloom filter的bits數），會導致false positive過高，此時就需要重新組建filter，但這種情況相對少見。

二. 時間和空間上的優勢

當可以承受一些誤報時，布隆過濾器比其它表示集合的數據結構有著很大的空間優勢。例如self-balance BST, tries, hash table或者array, chain，它們中大多數至少都要存儲元素本身，對于小整數需要少量的bits，對于字符串則需要任意多的bits（tries是個例外，因為對于有相同prefixes的元素可以共享存儲空間）；而chain結構還需要為存儲指針付出額外的代價。對于一個有1%誤報率和一個最優k值的布隆過濾器來說，無論元素的類型及大小，每個元素只需要9.6 bits來存儲。這個優點一部分繼承自array的緊湊性，一部分來源于它的概率性。如果你認為1%的誤報率太高，那么對每個元素每增加4.8 bits，我們就可將誤報率降低為原來的1/10。add和query的時間復雜度都為O(k)，與集合中元素的多少無關，這是其他數據結構都不能完成的。

如果可能元素范圍不是很大，并且大多數都在集合中，則使用確定性的bit array遠遠勝過使用布隆過濾器。因為bit array對于每個可能的元素空間上只需要1 bit，add和query的時間復雜度只有O(1)。注意到這樣一個哈希表（bit array）只有在忽略collision并且只存儲元素是否在其中的二進制信息時，才會獲得空間和時間上的優勢，而在此情況下，它就有效地稱為了k=1的布隆過濾器。

而當考慮到collision時，對于有m個slot的bit array或者其他哈希表（即k=1的布隆過濾器），如果想要保證1%的誤判率，則這個bit array只能存儲m/100個元素，因而有大量的空間被浪費，同時也會使得空間復雜度急劇上升，這顯然不是space efficient的。解決的方法很簡單，使用k>1的布隆過濾器，即k個hash function將每個元素改為對應于k個bits，因為誤判度會降低很多，并且如果參數k和m選取得好，一半的m可被置為為1，這充分說明了布隆過濾器的space efficient性。

三. 舉例說明

以垃圾郵件過濾中黑白名單為例：現有1億個email的黑名單，每個都擁有8 bytes的指紋信息，則可能的元素范圍為 ，對于bit array來說是根本不可能的范圍，而且元素的數量（即email列表）為 ，相比于元素范圍過于稀疏，而且還沒有考慮到哈希表中的collision問題。

若采用哈希表，由于大多數采用open addressing來解決collision，而此時的search時間復雜度為 ：

即若哈希表半滿(n/m = 1/2)，則每次search需要probe 2次，因此在保證效率的情況下哈希表的存儲效率最好不超過50%。此時每個元素占8 bytes，總空間為：

若采用Perfect hashing（這里可以采用Perfect hashing是因為主要操作是search/query，而并不是add和remove），雖然保證worst-case也只有一次probe，但是空間利用率更低，一般情況下為50%，worst-case時有不到一半的概率為25%。

若采用布隆過濾器，取k=8。因為n為1億，所以總共需要 被置位為1，又因為在保證誤判率低且k和m選取合適時，空間利用率為50%（后面會解釋），所以總空間為：

所需空間比上述哈希結構小得多，并且誤判率在萬分之一以下。

四. 誤判概率的證明和計算

假設布隆過濾器中的hash function滿足simple uniform hashing假設：每個元素都等概率地hash到m個slot中的任何一個，與其它元素被hash到哪個slot無關。若m為bit數，則對某一特定bit位在一個元素由某特定hash function插入時沒有被置位為1的概率為：

則k個hash function中沒有一個對其置位的概率為：

如果插入了n個元素，但都未將其置位的概率為：

則此位被置位的概率為：

現在考慮query階段，若對應某個待query元素的k bits全部置位為1，則可判定其在集合中。因此將某元素誤判的概率為：

由于 ，并且 當m很大時趨近于0，所以

從上式中可以看出，當m增大或n減小時，都會使得誤判率減小，這也符合直覺。

現在計算對于給定的m和n，k為何值時可以使得誤判率最低。設誤判率為k的函數為：

設 ， 則簡化為

，兩邊取對數

, 兩邊對k求導

下面求最值

因此，即當 時誤判率最低，此時誤判率為：

可以看出若要使得誤判率≤1/2，則：

這說明了若想保持某固定誤判率不變，布隆過濾器的bit數m與被add的元素數n應該是線性同步增加的。

五. 設計和應用布隆過濾器的方法

應用時首先要先由用戶決定要add的元素數n和希望的誤差率P。這也是一個設計完整的布隆過濾器需要用戶輸入的僅有的兩個參數，之后的所有參數將由系統計算，并由此建立布隆過濾器。

系統首先要計算需要的內存大小m bits:

再由m，n得到hash function的個數：

至此系統所需的參數已經備齊，接下來add n個元素至布隆過濾器中，再進行query。

根據公式，當k最優時：

因此可驗證當P=1%時，存儲每個元素需要9.6 bits：

而每當想將誤判率降低為原來的1/10，則存儲每個元素需要增加4.8 bits：

這里需要特別注意的是，9.6 bits/element不僅包含了被置為1的k位，還把包含了沒有被置為1的一些位數。此時的

才是每個元素對應的為1的bit位數。

從而使得P(error)最小時，我們注意到：

中的 ，即

此概率為某bit位在插入n個元素后未被置位的概率。因此，想保持錯誤率低，布隆過濾器的空間使用率需為50%。

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