從《 基于比較的排序結構總結 》中我們知道：全依賴“比較”操作的排序算法時間復雜度的一個下界O(N*logN)。但確實存在更快的算法。這些算法并不是不用“比較”操作，也不是想辦法將比較操作的次數減少到 logN。而是 利用對待排數據的某些限定性假設 ，來避免絕大多數的“比較”操作。桶排序就是這樣的原理。
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桶排序的基本思想
? ? ?? 假設有一組長度為N的待排關鍵字序列K[1....n]。首先將這個序列劃分成M個的子區間 (桶) 。然后基于 某種映射函數 ，將待排序列的關鍵字k映射到第i個桶中(即桶數組B的下標 i) ，那么該關鍵字k就作為B[i]中的元素(每個桶B[i]都是一組大小為N/M的序列)。接著對每個桶B[i]中的所有元素進行比較排序(可以使用快排)。然后依次枚舉輸出B[0]....B[M]中的全部內容即是一個有序序列。
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[桶—關鍵字]映射函數
????? bindex=f(key)?? 其中，bindex 為桶數組B的下標(即第bindex個桶), k為待排序列的關鍵字。桶排序之所以能夠高效，其關鍵在于這個映射函數，它必須做到： 如果關鍵字k1<k2，那么f(k1)<=f(k2)。也就是說B(i)中的最小數據都要大于B(i-1)中最大數據。 很顯然，映射函數的確定與數據本身的特點有很大的關系，我們下面舉個例子：
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假如待排序列K= { 49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 }。這些數據全部在1—100之間。因此我們定制10個桶，然后確定映射函數f(k)=k/10。則第一個關鍵字49將定位到第4個桶中(49/10=4)。依次將所有關鍵字全部堆入桶中，并在每個非空的桶中進行快速排序后得到如下圖所示：
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對上圖只要順序輸出每個B[i]中的數據就可以得到有序序列了。
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桶排序代價分析
桶排序利用函數的映射關系，減少了幾乎所有的比較工作。實際上，桶排序的f(k)值的計算，其作用就相當于快排中劃分，已經把大量數據分割成了基本有序的數據塊(桶)。然后只需要對桶中的少量數據做先進的比較排序即可。
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對N個關鍵字進行桶排序的時間復雜度分為兩個部分：
(1) 循環計算每個關鍵字的桶映射函數，這個時間復雜度是O(N)。
(2) 利用先進的比較排序算法對每個桶內的所有數據進行排序，其時間復雜度為? ∑ O(Ni*logNi) 。其中Ni 為第i個桶的數據量。
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很顯然，第(2)部分是桶排序性能好壞的決定因素。盡量減少桶內數據的數量是提高效率的唯一辦法(因為基于比較排序的最好平均時間復雜度只能達到O(N*logN)了)。因此，我們需要盡量做到下面兩點：
(1) 映射函數f(k)能夠將N個數據平均的分配到M個桶中，這樣每個桶就有[N/M]個數據量。
(2) 盡量的增大桶的數量。極限情況下每個桶只能得到一個數據，這樣就完全避開了桶內數據的“比較”排序操作。 當然，做到這一點很不容易，數據量巨大的情況下，f(k)函數會使得桶集合的數量巨大，空間浪費嚴重。這就是一個時間代價和空間代價的權衡問題了。
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對于N個待排數據，M個桶，平均每個桶[N/M]個數據的桶排序平均時間復雜度為：
???????????? O(N)+O(M*(N/M)*log(N/M))=O(N+N*(logN-logM))= O(N+N*logN-N*logM)
當N=M時，即極限情況下每個桶只有一個數據時。桶排序的最好效率能夠達到O(N)。
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總結： 桶排序的平均時間復雜度為線性的O(N+C)，其中C=N*(logN-logM)。如果相對于同樣的N，桶數量M越大，其效率越高，最好的時間復雜度達到O(N)。 當然桶排序的空間復雜度 為O(N+M)，如果輸入數據非常龐大，而桶的數量也非常多，則空間代價無疑是昂貴的。此外，桶排序是穩定的。
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其實我個人還有一個感受：在查找算法中，基于比較的查找算法最好的時間復雜度也是O(logN)。比如折半查找、平衡二叉樹、紅黑樹等。但是Hash表卻有O(C)線性級別的查找效率(不沖突情況下查找效率達到O(1))。大家好好體會一下：Hash表的思想和桶排序是不是有一曲同工之妙呢?
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桶排序在海量數據中的應用
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一年的全國高考考生人數為 500 萬，分數使用標準分，最低 100 ，最高 900 ，沒有小數，你把這 500 萬元素的數組排個序。
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分析：對500W數據排序，如果基于比較的先進排序，平均比較次數為O(5000000*log5000000)≈1.112億。但是我們發現，這些數據都有特殊的條件：? 100=<score<=900。那么我們就可以考慮桶排序這樣一個 “投機取巧”的辦法、讓其在毫秒級別就完成500萬排序。
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方法：創建801(900-100)個桶。將每個考生的分數丟進f(score)=score-100的桶中。這個過程從頭到尾遍歷一遍數據只需要500W次。然后根據桶號大小依次將桶中數值輸出，即可以得到一個有序的序列。而且可以很容易的得到100分有***人，501分有***人。
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實際上，桶排序對數據的條件有特殊要求，如果上面的分數不是從100-900，而是從0-2億，那么分配2億個桶顯然是不可能的。 所以桶排序有其局限性，適合元素值集合并不大的情況。
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源代碼
#include<iostream.h>
#include<malloc.h>
typedef struct node{
int key;
struct node * next;
}KeyNode;
void inc_sort(int keys[],int size,int bucket_size){
KeyNode **bucket_table=(KeyNode **)malloc(bucket_size*sizeof(KeyNode *));
for(int i=0;i<bucket_size;i++){
bucket_table[i]=(KeyNode *)malloc(sizeof(KeyNode));
bucket_table[i]->key=0; //記錄當前桶中的數據量
bucket_table[i]->next=NULL;
}
for(int j=0;j<size;j++){
KeyNode *node=(KeyNode *)malloc(sizeof(KeyNode));
node->key=keys[j];
node->next=NULL;
//映射函數計算桶號
int index=keys[j]/10;
//初始化P成為桶中數據鏈表的頭指針
KeyNode *p=bucket_table[index];
//該桶中還沒有數據
if(p->key==0){
bucket_table[index]->next=node;
(bucket_table[index]->key)++;
}else{
//鏈表結構的插入排序
while(p->next!=NULL&&p->next->key<=node->key)
p=p->next;
node->next=p->next;
p->next=node;
(bucket_table[index]->key)++;
}
}
//打印結果
for(int b=0;b<bucket_size;b++)
for(KeyNode *k=bucket_table[b]->next; k!=NULL; k=k->next)
cout<<k->key<<" ";
cout<<endl;
}
void main(){
int raw[]={49,38,65,97,76,13,27,49};
int size=sizeof(raw)/sizeof(int);
inc_sort(raw,size,10);
}
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?上面源代碼的桶內數據排序，我們使用了基于單鏈表的直接插入排序算法。可以使用基于雙向鏈表的快排算法提高效率。
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