2.2 多項式函數
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在 Commons Math 中的 analysis.polynomials 包中有所有的與多項式函數相關的類和接口定義。這一篇主要從這個包分析，來研究一下多項式函數的應用。
Polynomials 包中沒有 interface 的定義，下屬含有 5 個類： PolynomialFunction 、 PolynomialFunctionLagrangeForm 、 PolynomialFunctionNewtonForm 、 PolynomialSplineFunction 和 PolynomialsUtils 。其中主要的只有 PolynomialFunction 和 PolynomialSplineFunction ，正如 api doc 中的介紹， PolynomialFunction 類是 Immutable representation of a real polynomial function with real coefficients ——實數多項式的表示； PolynomialSplineFunction 類是 Represents a polynomial spline function. ——樣條曲線多項式的表示。另外兩個表示拉格朗日和牛頓形式的多項式函數。而 PolynomialsUtils 類中提供了幾個構造個別（比如切比雪夫多項式）多項式的靜態方法。
我覺得最常用的應該就是實數系數的多項式了，因此以 PolynomialFunction 類為例來進行分析。實數系數的多項式函數形如： f(x) = ax^2 + bx + c 。 PolynomialFunction 類實現了 DifferentiableUnivariateRealFunction 接口，因此必須實現 value() 和 derivative() 方法，并且實現該接口也表明這是一元可微分的實數函數形式。 PolynomialFunction 類定義了一組 final double coefficients[] 作為多項式系數，其中 coefficients[0] 表示常數項的系數， coefficients[n] 表示指數為 n 的 x^n 次項的系數。因此，這個類所表達的多項式函數是這樣的： f(x)=coeff[0] + coeff[1]x + coeff[2]x^2 + … + coeff[n]x^n 。它的構造方法是 PolynomialFunction(double []) 就是接受這樣的 coefficients 數組作為系數輸入參數來構造多項式的。這個是很好表達也很方便理解的。那么它的 value(double x) 方法是通過調用 double evaluate( double [] coefficients, double argument) 實現的，本質用 Horner's Method 求解多項式的值，沒有什么技術難點，非常好理解的一個給定參數和函數求值過程。剩余定義的一些加減乘等操作，都是通過一個類似public PolynomialFunction add( final PolynomialFunction p) 這樣的結構實現的。求導數的方法 derivative() 是通過這樣的一個微分操作實現的。見源碼：
?
?
protected
?
static
?
double
[]?differentiate(
double
[]?coefficients)?
{
?2
????????
int
?n?
=
?coefficients.length;
?3
????????
if
?(n?
<
?
1
)?
{
????????
?4
????????????
throw
?MathRuntimeException.createIllegalArgumentException(
"
empty?polynomials?coefficients?array
"
);
?5
????????}
?6
????????
if
?(n?
==
?
1
)?
{
?7
????????????
return
?
new
?
double
[]
{
0
}
;
?8
????????}
?9
????????
double
[]?result?
=
?
new
?
double
[n?
-
?
1
];
10
????????
for
?(
int
?i?
=
?n?
-
?
1
;?i??
>
?
0
;?i
--
)?
{
11
????????????result[i?
-
?
1
]?
=
?i?
*
?coefficients[i];
12
????????}
13
????????
return
?result;
14
????}
15
測試代碼示例如下：
/**
?2
?*?
?3
?
*/
?4
package
?algorithm.math;
?5
?6
import
?org.apache.commons.math.ArgumentOutsideDomainException;
?7
import
?org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialFunction;
?8
import
?org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction;
?9
10
/**
11
?*?
@author
?Jia?Yu
12
?*?@date?2010-11-21
13
?
*/
14
public
?
class
?PolinomialsFunctionTest?
{
15
16
????
/**
17
?????*?
@param
?args
18
?????
*/
19
????
public
?
static
?
void
?main(String[]?args)?
{
20
????????
//
?TODO?Auto-generated?method?stub
21
????????polynomials();
22
????????System.out.println(
"
-----------------------------------------------
"
);
23
????????polynomialsSpline();
24
????}
25
26
????
private
?
static
?
void
?polynomialsSpline()?
{
27
????????
//
?TODO?Auto-generated?method?stub
28
????????PolynomialFunction[]?polynomials?
=
?
{
29
????????????????
new
?PolynomialFunction(
new
?
double
[]?
{?0d,?1d,?1d?}
),
30
????????????????
new
?PolynomialFunction(
new
?
double
[]?
{?2d,?1d,?1d?}
),
31
????????????????
new
?PolynomialFunction(
new
?
double
[]?
{?4d,?1d,?1d?}
)?}
;
32
????????
double
[]?knots?
=
?
{?
-
1
,?
0
,?
1
,?
2
?}
;
33
????????PolynomialSplineFunction?spline?
=
?
new
?PolynomialSplineFunction(knots,
34
????????????????polynomials);
35
????????
//
output?directly
36
????????System.out.println(
"
poly?spline?func?is?
"
+
spline);
37
????????
//
?get?the?value?when?x?=?0.5
38
????????
try
?
{
39
????????????System.out.println(
"
f(0.5)?=?
"
+
spline.value(
0.5
));
40
????????}
?
catch
?(ArgumentOutsideDomainException?e)?
{
41
????????????
//
?TODO?Auto-generated?catch?block
42
????????????e.printStackTrace();
43
????????}
44
????????
//
?the?number?of?spline?segments
45
????????System.out.println(
"
spline?segments?number?is?
"
+
spline.getN());
46
????????
//
?the?polynomials?functions
47
????????
for
(
int
?i
=
0
;i
<
spline.getN();i
++
)
{
48
????????????System.out.println(
"
spline:f
"
+
i
+
"
(x)?=?
"
+
spline.getPolynomials()[i]);
49
????????}
50
????????
//
function?derivative
51
????????System.out.println(
"
spline?func?derivative?is?
"
+
spline.derivative());
52
????}
53
54
????
private
?
static
?
void
?polynomials()?
{
55
????????
//
?TODO?Auto-generated?method?stub
56
????????
double
[]?f1_coeff?
=
?
{?
3.0
,?
6.0
,?
-
2.0
,?
1.0
?}
;
57
????????
double
[]?f2_coeff?
=
?
{?
1.0
,?
2.0
,?
-
1.0
,?
-
2.0
?}
;
58
????????PolynomialFunction?f1?
=
?
new
?PolynomialFunction(f1_coeff);
59
????????PolynomialFunction?f2?
=
?
new
?PolynomialFunction(f2_coeff);
60
????????
//
?output?directly
61
????????System.out.println(
"
f1(x)?is?:?
"
?
+
?f1);
62
????????System.out.println(
"
f2(x)?is?:?
"
?
+
?f2);
63
????????
//
?polynomial?degree
64
????????System.out.println(
"
f1(x)'s?degree?is?
"
?
+
?f1.degree());
65
????????
//
?get?the?value?when?x?=?2
66
????????System.out.println(
"
f1(2)?=?
"
?
+
?f1.value(
2
));
67
????????
//
?function?add
68
????????System.out.println(
"
f1(x)+f2(x)?=?
"
?
+
?f1.add(f2));
69
????????
//
?function?substract
70
????????System.out.println(
"
f1(x)-f2(x)?=?
"
?
+
?f1.subtract(f2));
71
????????
//
?function?multiply
72
????????System.out.println(
"
f1(x)*f2(x)?=?
"
?
+
?f1.multiply(f2));
73
????????
//
?function?derivative
74
????????System.out.println(
"
f1'(x)?=?
"
?
+
?f1.derivative());
75
????????System.out.println(
"
f2''(x)?=?
"
76
????????????????
+
?((PolynomialFunction)?f2.derivative()).derivative());
77
78
????}
79
80
}
81
輸出如下：
f1(x) is : 3.0 + 6.0 x - 2.0 x^2 + x^3
f2(x) is : 1.0 + 2.0 x - x^2 - 2.0 x^3
f1(x)'s degree is 3
f1(2) = 15.0
f1(x)+f2(x) = 4.0 + 8.0 x - 3.0 x^2 - x^3
f1(x)-f2(x) = 2.0 + 4.0 x - x^2 + 3.0 x^3
f1(x)*f2(x) = 3.0 + 12.0 x + 7.0 x^2 - 15.0 x^3 - 8.0 x^4 + 3.0 x^5 - 2.0 x^6
f1'(x) = 6.0 - 4.0 x + 3.0 x^2
f2''(x) = -2.0 - 12.0 x
-----------------------------------------------
poly spline func is org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction@69b332
f(0.5) = 2.75
spline segments number is 3
spline:f0(x) = x + x^2
spline:f1(x) = 2.0 + x + x^2
spline:f2(x) = 4.0 + x + x^2
spline func derivative is org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction@173a10f
PolynomialFunction 類也是重寫了 toString 方法和 hashCode 和 equals 方法的。
PolynomialSplineFunction 類是多項式樣條函數， 樣條 是一種特殊的函數，由多項式分段定義。表示了一個由多個多項式組成的樣條曲線。它的實現主要是內部定義了一個多項式函數組 PolynomialFunction polynomials[] 和一個樣條分界節點數組 double knots[] 。這兩個內部成員分別表示什么呢？分界節點表示整條曲線對應在 x 等于 knots[i] 的時候開始使用其他多項式樣條，其構造方法 public PolynomialSplineFunction( double knots[], PolynomialFunction polynomials[]) 完成這樣的功能。
舉例來說，一個多項式樣條函數就是一個分段函數：
????? X^2+x??? [-1,0)
F(x) = x^2+x+2?? [0,1)
????? X^2+x+4?[1,2)
當然，構造方法中的參數，
knots[]
數組必須是遞增的。
可以看到，直接輸出
PolynomialSplineFunction
是多么丑陋啊
~~
，因為它沒有重寫
toString
方法。同樣，它的導數也是一樣的丑陋。其中如果給定的值不在定義域內，
value
方法還拋出異常
ArgumentOutsideDomainException
。
最后 PolynomialFunctionLagrangeForm 和 PolynomialFunctionNewtonForm 類完成的其實是多項式插值的功能，放到下一節研究的。
相關資料：
樣條函數： http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%A0%B7%E6%9D%A1%E5%87%BD%E6%95%B0
Horner Methods ： http://mathworld.wolfram.com/HornersMethod.html
Commons math 包： http://commons.apache.org/math/index.html
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