四川省成都市新都一中　杜修奎

【 摘要 】 本文主要闡述了本人對數學直覺思維的認識，以及培養數學直覺思維的重要性和必要性，進一步闡述了如何培養的問題。

【 關鍵詞 】 直覺思維 邏輯思維 創新 猜想 數型結合

中學數學教學大綱(試驗修訂本)將培養學生的三大能力之一“邏輯思維能力”改為“思維能力”，雖然只是去掉兩個字，概念的內涵卻更加豐富，反映了人們在教育的實踐中實現了認識上的轉變。我們在注重邏輯思維能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想象力的培養。特別是直覺思維能力的培養，由于長期直覺思維得不到重視，學生在學習的過程中認為數學是枯燥乏味的，對數學的學習缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學學習的興趣。過多地注重邏輯思維能力的培養，不利于思維能力的整體發展。培養直覺思維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。

一、對數學直覺思維的認識

1．直覺是發明的源泉。偉大的數學家、物理學家和天文學家彭加勒說：“邏輯用于證明，直覺用于發明。”前蘇聯科學家凱德洛夫更明確地說：“沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動。”直覺思維就是指人們不受邏輯規則約束直接領悟事物本質的一種思維方式。數學直覺思維是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動。思維者不是按部就班地推理，而是對思維對象從整體上進行考察，調動自身的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，跳過若干中間步驟或放過個別細節而直接把握研究對象的本質和聯系。

2．數學直覺思維的表現形式是以人們已有的知識、經驗和技能為基礎，通過觀察、聯想、類比、歸納、猜測之后對所研究的事物作出一種比較迅速的直接的綜合判斷，它不受固定的邏輯約束，以潛邏輯的形式進行。關于數學直覺思維的研究，目前比較統一的看法是認為存在著兩種不同的表現形式，即數學直覺和數學靈感。這兩者的共同點是它們都能以高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數學關系，能在一瞬間迅速解決有關數學問題。

3．數學直覺思維具有個體經驗性、突發性、偶然性、果斷性、創造性、迅速性、自由性、直觀性、自發性、不可靠性等特點。迪瓦多內說：“任何水平的數學教學的最終目的，無疑是使學生對他要處理的數學對象有一個可靠‘直覺’。”在教育過程中，教師如果把證明過程過分的嚴格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環，學生們只能把成功歸功于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗。《中國青年報》曾報道，“約30％的初中生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數學學習的興趣”，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。

直觀性：數學直覺思維活動在時間上表現為快速性，即它有時是在一剎那間完成的；在過程上表現為跳躍性；在形式上表現為簡約性，簡約美體現了數學的本質。直覺思維是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。　　

創造性：直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發散的，使人的認知結構向外擴展，因而具有反常規律的獨創性。許多重大的發現都基于數學直覺。基于直覺，歐幾里得幾何學的五個公設夢幻般建立起了歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上迸發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法。現代社會需要創造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。因此培養學生的直覺思維是必要的。

4．數學直覺思維能力的提高有利于增強學生的自信力。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的“自信心”。從馬斯洛的需要層次來看，它使學生的自我價值得以充分實現，也就是最高層次的需要得以實現，比起其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。布魯納認為學習的最好刺激是對教學材料的興趣。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力。高斯在小學時就能解決問題“1＋2＋…… ＋99＋100＝?”，這是基于他對數的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產生了不可磨滅的影響。

數學直覺思維還有利于提高學生的思維品質。直覺思維具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或結論，給人以“發散”、“放射”的感覺，一計不成又生一計。因此，加強直覺思維能力的訓練，對克服思維的單向性，提高思維品質是有利的。

二、數學直覺思維的培養

一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”對于一個專業的數學工作者來說，他所具有的數學直覺顯然已不再是一種樸素意義上的原始直覺，而是一種精致化了的直覺，也即是通過多年的學習和研究才逐漸養成的。

扎實的基礎是產生直覺的源泉。迪瓦多內一語道破了直覺的產生過程：“我以為獲得‘直覺’的過程，必須經歷一個純形式表面理解的時期，然后逐步將理解提高、深化”。“直覺”不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故地憑空臆想，成功孕育于1%的靈感和99%的血汗中。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂了一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東西的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗．對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺。”

在課堂教學中，數學直覺思維的培養和發展是情感教育下的產物之一，把知情融為一體，使認知和情感彼此促進，和諧發展，互相促進。敏銳的觀察力是直覺思維的起步器；‘一葉落而知天下秋’的聯想習慣、科學美的鑒賞力是直覺思維的助跑器；強有利的語言表達能力是直覺思維的載體。美國心理學家布魯納認為，應該做更多的工作去發展學生的直覺思維。直覺思維能力可以通過多方聯想，學會從整體考察問題，注意挖掘問題內部的本質聯系，借助對稱、和諧等數學美感，養成解題后進行反思的習慣等途徑加以培養。

1．注重整體洞察，培養學生的整體直覺思維和觀察能力。直覺思維不同于邏輯思維，直覺思維是綜合的而不是分析的，它依賴于對事物全面和本質的理解，側重于整體上把握對象而不拘泥于細節的邏輯分析，它重視元素之間的聯系、系統的整體結構，從整體上把握研究的內容和方向。觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門。沒有觀察就沒有發現，更不能有創造。中學數學教學中圖形的識別，規律的發現以及理解能力、記憶能力、抽象能力、想象能力和運算能力等都離不開觀察。在觀察之前，要給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求。指導學生從整體上觀察研究對象的特征，比如對于三角問題指導學生從角、函數名和形式進行觀察，注意幫助學生養成自問和反思的習慣，努力培養學生濃厚的觀察興趣。

2．重視解題教學，注重培養學生數形結合思維。華羅庚說過：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。”通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺，對培養學生的幾何直覺思維大有幫助。教師應該把直覺思維在課堂教學中明確提出，制定相應的活動策略。重視數學思維方法的教學，諸如：換元、數形結合、歸納猜想、反證法等，通過方法論的分析使數學中的發明、創造活動成為“可以理解的”、“可以學到手的”和“可以加以推廣應用的”，以思想方法的分析去帶動具體知識內容的教學．

教學中選擇適當的題目類型，有利于考察和培養學生的直覺思維。例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發展。實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發散性，有利于直覺思維能力的培養。當人們解一道數學題時，往往要對結果或解題途徑先作大致的估量或猜測，這就是一種數學直覺思維．在解決抽象的數學問題時，要注意利用直覺思維解題，能把抽象轉化為具體，本身也是一種直覺思維能力．例如 2000年高考第 11題：過拋物線（a>0）的焦點心F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于

(A)2a　　　(B) 　　　(C) 4a 　　　(D)

分析1： 首先拋物線方程化成標準形式為，其次當PQ為通徑時可求得，由此可知，本題答案為(C)。分析2：當直線PQ的斜率趨向于時，其中一條（不妨設PF）的長度趨向于，而另一條趨向于OF，從而可求得答案(C)通過分析直線PQ的斜率不斷增大的情形，有效地激發學生的創造性動機，提高學生的思維能力。

3．注重引導學生進行合理猜想，培養歸納直覺思維。歸納直覺是一種非邏輯思維，它需要有“理智的勇氣”、“精明的誠實”、“明智的克制”。在數學解題中，運用歸納直覺，雖然是冒風險的，但仍然值得重視。猜想是由已知原理、事實，對未知現象及其規律所作出的一種假設性的命題。在我們的數學教學中，培養學生進行猜想，是激發學生學習興趣，發展學生直覺思維，掌握探求知識方法的必要手段。作為一個教師，我們不僅應當注意“保護”學生已有的猜想能力和直覺能力，而且應更加注意幫助學生學會合理的猜想方法，并使他們的直覺思維不斷得到發展和趨向精致．“引”學生大膽設問；“引”學生各抒己見；“引”學生充分活動。讓學生猜想問題的結論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識間的有機聯系，讓學生把各種各樣的想法都講出來，讓學生真正“觸摸”到自己的研究對象，推動其思維的主動性。為了啟發學生進行猜想，我們還可以創設使學生積極思維，引發猜想的意境，可以提出“怎么發現這一定理的？”“解這題的方法是如何想到的？”諸如此類的問題，組織學生進行猜想、探索，還可以編制一些變換結論，缺少條件的“藏頭露尾”的題目，引發學生猜想的愿望，猜想的積極性。對于學生的大膽設想應給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感。

4．注重滲透數學審美觀念，培養審美直覺思維。美的意識能喚起和支配數學直覺。縱觀古今，數學上的許多發現和創舉無論從宏觀還是微觀上看無不遵循美的創造規律。難怪數學大師阿達瑪認為，數學直覺的本質是某種“美感”或“美的意識”。 美感和美的意識是數學直覺的本質。龐加萊畢生追求“簡單與宏遠”，愛因斯坦看重宇宙的“統一與和諧”。美學是科學家譜寫科學理論“詩篇”的一條紅線。數學中主要包括簡潔美、和諧美、對稱美、奇異美以及數學思想美、數學家的情感美，在美的享受中啟迪人們的心靈，引起精神的升華。法國數學家和天文學家拉普拉斯從牛頓力學中“感受到數學的完美性”，英國數學家和哲學家羅素從歐幾里德《幾何原本》中“讀出音樂般的美妙”，英國物理學家狄拉克從“數學形式的美”中發現了“物理世界的真”。因此提高審美能力有利于培養數學事物間存在著的和諧關系及秩序的直覺意識。在課堂教學中，引導學生發現美是提高學生審美能力的有效途徑之一。同時巧妙的語言表達如一個恰當的比喻也可使學生廣開思路，回味無窮。例如為了講清函數s＝5t和y＝5x是同一個函數，你在采用“這兩個個映射都是把數集A中的每一個元素對應到它本身的5倍”的語言講述后，不妨比喻為一個人穿兩件不同的衣服，賦予函數的符號好似人穿的衣服，它的實質好比這個人本身，又如多對一的映射比喻為“萬箭穿心”，如此生動形象淺顯貼切的比喻使枯燥的說教自慚形穢。

5．注重滲透數學的哲學觀點，加強在其它學科中應用的意識，提高信息處理能力。直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建瓴地把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等特點。例如，即使沒有學過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結論的真偽。而函數的單調性充分體現了對立統一的辯證關系。

有意識地應用于其它學科，尤其是應用學科。例如，已知，，求的最小值．運用物理學科的知識去解釋，即串聯電路的電阻值為1，將其改裝為并聯電路，使得并聯電路電阻值最大，由并聯電阻的阻值總比任一支路的電阻值小，從而使得基本不等式“深入人心”。又如對于　的化學知識的解釋（在原有溶液中加入溶質，溶液的質量分數會增大）使學生在豁然開朗中提高直覺思維能力。

在教學中，應用數學知識處理各種各樣的信息也是非常重要的。如2001年高考第12題：如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表承它們有網線相聯．連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量．現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞．則單位時間內傳遞的最大信息量為( 　　　)

(A)26　　 (B)24 　　(C)20 　　(D)19

首先引導學生直覺地意識到單位時間內傳遞的最大信息量應為每條線路單位時間內傳遞的最大信息量之和，又每條線路中收到的信息量不超過每相鄰結點間可以通過信息量的最小值。因而最大信息量為3＋4＋6＋6＝19。

三、結束語

數學是一門滴水不漏的學科，許多直覺洞察的空隙必須要用邏輯推理來填補。 對于直覺與非形式的強調是無可非議的，但是我們并不能以此去取代數學證明，而只能作為后者的必要補充；而“如果在解決問題的過程中總是滿足于不加證明的猜測，他們很快就會忘記在猜測與證明之間的區分”，而后者甚至可以說比根本不知道如何去解決問題更糟。直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展，伊思．斯圖爾特曾經說過這樣一句話，“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙的結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數學的魅力所在，也是數學教育者努力的方向。

參考書目：

　［1］張奠宙主編《數學教育研究引導》江蘇教育出版社
　［2］郭思樂　喻緯著《數學思維教育論》　上海教育出版社
　［3］陳祥明 《論科學美及其美感》，安徽大學學報（哲學社會科學版）1998，4
　［4］唐紹友 《試論數學教學與情感教育》，《數學教學通訊》2002，3
　［5］劉云章，王占芳著.數學 ? 教學 ? 哲學 ? 斷想.內蒙古文化出版社，2001,10.
　［6］史保懷 直覺思維在解題中的運用.中學數學教學參考，2000,5.