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數(shù)學(xué)的精神----(三)

系統(tǒng) 1604 0
Rainbow Fish  點(diǎn)擊放大

征服無限--數(shù)學(xué)的力量


"所有的動(dòng)物生而平等,但是有些比別的更平等[1]。"在數(shù)學(xué)里也一樣存在
這個(gè)現(xiàn)象。如果只是要合乎邏輯的話幾何可以有很多種,代數(shù)也一樣。就算動(dòng)用美


學(xué)的標(biāo)準(zhǔn),也很難說我們的數(shù)學(xué)就比它的這些兄弟們更好一些。那為什么我們今天


見到的數(shù)學(xué)是這樣的而不是那樣的?我想,原因在于我們總是用現(xiàn)實(shí)世界的眼睛去


觀察和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)。歐氏幾何之所以有這樣的公理而不是別的,是因?yàn)樗罘袭?dāng)時(shí)


人類對自然世界的觀察。這樣一來它就比別的幾何在數(shù)學(xué)里具有更高的地位,擁有


更多的關(guān)注。

偉大的蘇格拉底曾經(jīng)向普羅塔奇思(Protarchus)問道:"是不是有兩種數(shù)學(xué),
一種是平民百姓的,一種是哲學(xué)家的?.....(平民)在建筑和作買賣時(shí)運(yùn)用的算
法和測量的技術(shù)與哲學(xué)家們的(歐氏)幾何和極為精細(xì)的計(jì)算比較如何--我的意
思是,它們是一種還是兩種?"
普羅塔奇思:".....我認(rèn)為是兩種"。[2]

這段對話其實(shí)反映出數(shù)學(xué)自降生以來,就被分成從目標(biāo)上來說截然不同的兩部
分:純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。我認(rèn)為這種分類并不能嚴(yán)格地從內(nèi)容上進(jìn)行,比如說屬


于應(yīng)用數(shù)學(xué)的微分方程理論就有很多定理十分優(yōu)美和抽象,當(dāng)年被證明出來大概也


還是出于認(rèn)識真理的動(dòng)力;而以前非歐幾何完全是在純數(shù)學(xué)的小圈子里面流通的,


后來也在二十世紀(jì)成了描述現(xiàn)實(shí)宇宙的重要工具。最有意思的是這么一個(gè)故事,在


一九一零年左右,普林斯頓大學(xué)一位數(shù)學(xué)家和一位物理學(xué)家在討論課程表的時(shí)候,


物理學(xué)家很有把握地聲稱,他們無疑可以去掉抽象代數(shù),因?yàn)樗^不會對物理有用


的[3]。 結(jié)果是沒出幾十年,不懂群論就已經(jīng)無法進(jìn)行基礎(chǔ)物理的研究了。在數(shù)學(xué)


的發(fā)展史上,"純粹"往往在多年以后找到"應(yīng)用",而"應(yīng)用"也常常成為理論
研究的動(dòng)力,它們二者與其說成是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)分支,不如說成是統(tǒng)一的數(shù)學(xué)的


兩個(gè)側(cè)面。就象在希臘神話中,雅典娜不僅有俏麗的面容,也有強(qiáng)大的力量。純粹


思辯的數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中是極有力的工具,以至于曾經(jīng)說過,一門科學(xué)只有


當(dāng)它能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)的時(shí)候,才可以真正算作發(fā)展成熟了。[4]

然而為什么數(shù)學(xué)是如此地有用?這本身卻是一個(gè)難以回答的哲學(xué)問題。就象我
在前面兩章里所闡述的,數(shù)學(xué)是為數(shù)很少的幾個(gè)公設(shè)在邏輯推理下可以得到的所有


命題的總和。如果把"真理"理解為在現(xiàn)實(shí)世界里行得通的某種"法則",那么正
好和常識相反,數(shù)學(xué)里不包含任何"真理"。在物理,化學(xué),生物里我們經(jīng)常可以
看到這樣的論斷:A具有性質(zhì)B。驗(yàn)證它的方法是實(shí)驗(yàn)C。和這種毫不猶豫地求助于
實(shí)驗(yàn)的風(fēng)格不同的是,在勾股定理的命題描述后面,你絕不會看見驗(yàn)證它的實(shí)驗(yàn)是


什么什么,取代這一步驟的是從歐幾里得幾何的幾條公理出發(fā),通過清晰的邏輯把


它證明出來。按照羅素等人的解釋,"正三角形的直角邊平方和等于斜邊的平方"
這個(gè)給人以"客觀真理"印象的命題是過于簡化了,它應(yīng)該被說成:"從歐氏幾何
的公理和實(shí)數(shù)的策墨羅-富蘭克爾公理體系出發(fā),推出勾股定理的邏輯值為真"。
后一種說法其實(shí)就和客觀實(shí)踐無關(guān)了,如果我們把前提修改一下,后面那個(gè)符合實(shí)


踐的結(jié)論很可能就不成立。比方說在非歐幾何里,這條定理就行不通。這兩個(gè)不同


的結(jié)論可以很好地共存,而且還不象經(jīng)典力學(xué)和相對論那樣是彼此近似的關(guān)系。原


因是單從邏輯的角度上講,只要它們各自的前提不存在內(nèi)部矛盾就是平等的。而前


提是不是正確?是不是我們這個(gè)自然世界的性質(zhì)?數(shù)學(xué)家們狡猾地笑笑,說:這就


是物理學(xué)家,化學(xué)家,生物學(xué)家們的事情了。

一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)解法之合理性是出自近似性。從應(yīng)用的角度講,我們從來
就不需要絕對的精確,恐怕永遠(yuǎn)也達(dá)不到它。根號二是個(gè)無理數(shù)?那不要緊,反正


我們連有理數(shù)長的尺子也造不出來。exp(x)=x沒有"解析解"?這也不要緊,要緊
的是我們能夠想出一個(gè)逼近的方法,有多精確的需要,就能夠通過有限步運(yùn)算達(dá)到


多么精確。

回到幾何和數(shù)學(xué)本身,它們是有限步邏輯的產(chǎn)物,哪怕最接近"現(xiàn)實(shí)"的數(shù)學(xué)
也已注定了是這個(gè)無限復(fù)雜的世界的某種近似。那么真實(shí)世界中任何問題都能夠被


某種數(shù)學(xué)所漸進(jìn)描述么?學(xué)過一些比較專業(yè)的數(shù)學(xué)就知道,這個(gè)問題等價(jià)于"全體
數(shù)學(xué)空間"在"全體現(xiàn)實(shí)問題空間"里稠密,而這一般來說并不是顯然的。好在我
們的科學(xué)發(fā)展暫時(shí)還沒有碰到這些問題,多么復(fù)雜的物理問題最后總是找到相應(yīng)的


數(shù)學(xué)工具,而且在很多時(shí)候這件事情還富有戲劇性:物理學(xué)家們有時(shí)發(fā)現(xiàn),他們需


要的工具,很早以前一小群純粹數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)準(zhǔn)備好了。這種應(yīng)用在數(shù)學(xué)界的影


響也是巨大的,因?yàn)樗涯撤N"沒有用"的純粹數(shù)學(xué)隱含的應(yīng)用性揭示出來,從而
強(qiáng)烈地暗示,任何抽象的數(shù)學(xué)研究終歸會被派上用場,成為應(yīng)用數(shù)學(xué)。這也是非歐


幾何創(chuàng)始人之一的羅巴切夫斯基的信心,而且我們還知道,愛因斯坦沒有讓他失望


。"所有數(shù)學(xué)都是有用的"這個(gè)命題大致是前面"所有現(xiàn)實(shí)問題都有數(shù)學(xué)模型"的
逆命題。很可惜,就和前面那個(gè)命題一樣,這也是難以證明的。困難來自于無限,


希望卻也來自無限。數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類對無限的挑戰(zhàn)和超越密不可分。

在上一章里,我已經(jīng)提到所有的數(shù)學(xué)都是研究涉及無限的模式,哪怕最簡單的
自然數(shù)也不例外。現(xiàn)在我們更進(jìn)一步,看看我們是怎么解決由數(shù)本身所構(gòu)成的無限


命題。第一步我想我們應(yīng)該看看最為簡單的無限:自然數(shù)所產(chǎn)生的無限(這種無限


有個(gè)學(xué)名,叫做"可數(shù)無窮大")。在近代數(shù)學(xué)定義中,這個(gè)無限可以通過"給定
一個(gè)自然數(shù)n,總存在n+1比它大"這一事實(shí)來描述。這些語言本身僅僅涉及有限,
因而是我們可以把握的。由此我們還得到數(shù)學(xué)歸納法,它可以處理含有這種無窮大


的命題,比方說"1+2+……+n=n*(n+1)/2"。步驟是先證明最開始的一個(gè)情況是對
的,然后證明第n+1個(gè)情況的正確性可以由第n個(gè)情況所推出。這就象是在搭梯子,


只要第一下踏中了,而且保證一腳踏實(shí)后就可以踏第二腳,那么哪怕這梯子有無限


多級,我們也滿可以登上去。

然而這并不是一個(gè)讓人放心的邏輯。事實(shí)上它違反了一個(gè)"常識":如果真有
無限級的梯子,就算一個(gè)人結(jié)結(jié)實(shí)實(shí)地踩中了第一腳,并且保證下一腳永不踏空,


他也沒有辦法爬完全部梯子。不過好在我們誰也沒有真正見到過無限級的梯子,真


正的無窮是不為人所見的。世界是那樣的復(fù)雜,我們把它叫做無窮;而人卻是渺小


的,我們只能感知到有限。無限如果不和有限結(jié)合起來,就是對我們毫無用處的無


限。這條想象中的"無限梯"是那樣真實(shí),以至于我們已經(jīng)忘了它其實(shí)來自于"非
常長"然而仍然是有限的梯子的經(jīng)驗(yàn)。我們不必為那條無限梯永遠(yuǎn)爬不到頂而煩惱
,我們的勝利來自于每一級被征服的有限,和不斷延續(xù)的過程。過程!是的,無限


不是靜止的體驗(yàn),無限來自不停息的過程。每一個(gè)被征服的具體的n+1都是有限,
歸納的過程卻意味著我們征服了第一個(gè)無限。

談到過程,就要談?wù)剷r(shí)間了。和自然數(shù)不同,時(shí)間是連續(xù)的。換句話說,在萬
分之一毫秒中我們還可以插入許多億分之一毫秒,而且這一分割還可以繼續(xù)下去,


要多細(xì)有多細(xì)。在現(xiàn)實(shí)生活中,人對"微小"的認(rèn)識水平是有限制的。所以無限可
分并不是直接的經(jīng)驗(yàn),而是和可數(shù)無窮大一樣,是有限經(jīng)驗(yàn)的一種抽象。這種無限


可分的性質(zhì)不光時(shí)間有,空間也是有的,它們合在一起構(gòu)成了我們這個(gè)宇宙的框架


。最早對這一框架的數(shù)學(xué)描述是歐氏幾何,通過笛卡爾等人的努力,實(shí)數(shù)和這一幾


何通過坐標(biāo)系建立了不可分割的關(guān)系。

幾何的出發(fā)點(diǎn)是抽象的"點(diǎn)","直線"等概念,這些概念,在現(xiàn)實(shí)生活中是
不存在的。確實(shí),有誰能夠見到一個(gè)沒有任何大小的"點(diǎn)"呢?又有哪一條"直線
"不是彎曲的呢?然而今天對于任何一個(gè)受過教育的人來講,這些奇怪的人造動(dòng)物
都是再自然不過的了。我們把力學(xué)問題抽象為幾何,通過數(shù)學(xué)來推導(dǎo),運(yùn)算,得到


一個(gè)數(shù)字或者圖形,然后再把它的力學(xué)意義解釋出來。而這個(gè)結(jié)論總是對的,這可


以從無數(shù)實(shí)驗(yàn)中看出來。可是這種正確,卻是基于在現(xiàn)實(shí)生活中誰也沒有見到過的


"點(diǎn)"和"線"的 看 邏輯推理。

解釋它的辦法仍然是用過程的概念:比方說一個(gè)"點(diǎn)"或者說一個(gè)實(shí)數(shù)不是個(gè)
固定的概念--無限小的"存在",而是一個(gè)可以不斷逼近(縮小)的過程。一顆
質(zhì)量為3.75公斤的石子在113.14牛頓的推進(jìn)力下沿直線運(yùn)行了3.03秒,那么它的軌


跡就有138.50米。這里的任何一個(gè)數(shù)字都不是對現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)的真實(shí)描述,而是近似。


隨著對3.75公斤,113.14牛頓,3.03秒近似水平的提高,軌跡也會越來越接近
138.50米。這個(gè)"越來越接近"又是一個(gè)涉及無限的過程了,它被有限的邏輯以
F=ma, S=a*t^2/2的形式表達(dá)出來。其中第一個(gè)式子來源于物理經(jīng)驗(yàn),第二個(gè)式子
則是微積分的一個(gè)結(jié)果。

微積分和它所生成的分析學(xué)是近代數(shù)學(xué)最值得銘記的里程碑,它在數(shù)學(xué)中的重
要性怎么估計(jì)都不會過高。可是它竟然在相當(dāng)長的一段時(shí)間里不是嚴(yán)格意義上的數(shù)


學(xué)--因?yàn)樗幕A(chǔ)要到很晚以后才被建立在堅(jiān)實(shí)的邏輯之上。天文學(xué)家開普勒嘗
試著做最早的積分,被叫做"dolichometry"--小桶的量度--即量度由曲面包
圍起來的物體的容積。這是非公理化的,經(jīng)驗(yàn)的幾何學(xué),而不是歐幾里得以后的那


種幾何學(xué)[5]。牛頓發(fā)明的"流數(shù)"運(yùn)算,不僅是為了研究物理提供工具,連陳述
都是物理化的,而這種不精確性,來源就是把無窮小量當(dāng)作靜止的恒量。在牛頓時(shí)


代的微積分運(yùn)算中,我們經(jīng)常可以看到用這個(gè)無窮小量做分母(這意味著它不等于


零),而在隨后的乘法中和它相乘的量又都被消去(這時(shí)它就是零了),從而得到


結(jié)果。這個(gè)矛盾當(dāng)時(shí)無法解決,而且它并不是象虛數(shù)那樣完全是形式上的問題,那


種推導(dǎo)方法還有可能會得出象0=1這種荒謬的結(jié)論。以前曾經(jīng)是如此嚴(yán)格地合乎道
德的數(shù)學(xué)也犯了原罪;它吃了智慧果,這為它開辟了獲得最大成就但也造成謬誤的


道路[6]。

現(xiàn)在我們高等數(shù)學(xué)/數(shù)學(xué)分析教科書上已經(jīng)找不到這個(gè)象幽靈一樣的無窮小量
了,取而代之的是柯西和魏爾斯特拉斯所發(fā)現(xiàn)的極限思想和用來描述它的ε-δ法
則。無窮小量現(xiàn)在被看成某個(gè)函數(shù)的極限過程,精確的描述如下:對于任意ε>0.
存在δ>0, 當(dāng)|x-x_0|<δ時(shí) |f(x)-f(x_0)|<ε,記為當(dāng)x→x_0時(shí),f(x)→
f(x_0)。

這里ε和δ都代表了有限,"任意"和"存在"是集合論或者說是邏輯運(yùn)算的
語言,通過它們把代表無限的無窮小量刻畫出來。看似笨拙的描述中透露的還是那


個(gè)思想:如果不能夠從有限出發(fā)刻畫無限,那樣的無限就毫無意義;如果一種計(jì)算


不能寫成標(biāo)準(zhǔn)的邏輯語言,它就不能被稱為真正的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的力量表現(xiàn)在豐富多


彩的應(yīng)用上,但更是出自它無比的嚴(yán)密。在歷史上應(yīng)用很多次走在了嚴(yán)密的前面,


就象微積分那樣,但最終數(shù)學(xué)總可以為它們建立嚴(yán)格的邏輯,盡管有時(shí)不得不付出


直觀性和有效性的代價(jià)。后者一個(gè)典型的例子就是概率論。古典概率的直觀體系很


早就有了雛形,而且被實(shí)踐證明是管用的。然而要到本世紀(jì)柯爾莫哥洛夫(
Kolmogorov)突破性的工作后它才談得上有一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這套體系是建立


在測度論上的,而在現(xiàn)有的體系下一定有很多事件是無法定義概率的(不可測),


所以概率的定義域就從來自經(jīng)驗(yàn)的"全部可能的事件"縮減為一個(gè)純粹為滿足數(shù)學(xué)
嚴(yán)格性而建筑的δ-algebra之上。這種不自然多多少少削弱了概率論的力量(盡管


幾乎所有我們見過的集合都是可測的),因此直到現(xiàn)在還有人反對它,試圖建立一


套更加完美的理論。

不管新的體系會是什么樣子,有一點(diǎn)是肯定的:它一定是保證了邏輯嚴(yán)密性后
的推廣,只有這樣,我們才有充分的信心去運(yùn)用它。可是邏輯又為什么會適用于我


們這個(gè)世界?這是還未得到解決的哲學(xué)問題。抽象的邏輯其實(shí)一樣來自于重復(fù)足夠


多次的經(jīng)驗(yàn),我們的經(jīng)驗(yàn)則是視覺,聽覺,觸覺,嗅覺--通過機(jī)器可以把它們延
伸,通過思考可以間接地感受它們,然而歸根到底它們還是基于這些感覺。也許
1+1=2不是感覺,可是它也是從一大類我們感知得到的具體事物中抽象出來的規(guī)律
。這個(gè)規(guī)律,就我們過去的經(jīng)驗(yàn)所知是正確的。之所以我們要去(通過研究過去的


經(jīng)驗(yàn))追求規(guī)律,是為了把握我們難以把握的未來,如果歷史對未來毫無影響,如


果宇宙隨時(shí)間的變化完全不可知,我們還有研究科學(xué)的必要嗎?我們的信心只能建


立在宇宙的規(guī)律性上,這種規(guī)律性也許永遠(yuǎn)不能夠?yàn)槿祟愃耆J(rèn)識,但總是在某


個(gè)地方"存在"著,全部自然科學(xué)包括數(shù)學(xué)不是創(chuàng)造它,而是發(fā)現(xiàn)它。然而即使全
部的過去都支持某一種規(guī)律,這種規(guī)律就一定會在將來永遠(yuǎn)地成立下去嗎?太陽明


天還會升起,這可以通過物理定律來證明,可是物理定律恰恰是從象太陽無數(shù)次有


規(guī)律的升起這樣的大量經(jīng)驗(yàn)中得出的,這就象是自己證明自己,并沒有產(chǎn)生新的信


息。

到這里我打算停下來,把問題交給搞自然科學(xué)的同仁們。歸跟到底,那些建立
模型解釋模型的任務(wù)不在數(shù)學(xué)家身上。我們所從事的工作就象是下圍棋,給定了規(guī)


則(邏輯)后就演繹出許多推論,在數(shù)學(xué)上的"正確"意味著合乎這種規(guī)則,和現(xiàn)
實(shí)生活中的"正確"具有不同(然而非常相關(guān))的哲學(xué)意義。由此可見,數(shù)學(xué)不是

具體科學(xué),更不是"客觀真理"的總匯。


*********

[1] 《動(dòng)物莊院》,George Orwell
[2] 《Applied Mathematics Is Bad Mathematics》,P. Halmos
[3] 《Mathematics in the Physical Science》,F(xiàn). J. Dyson
[4] 《回憶錄》,拉法格著,轉(zhuǎn)引自《數(shù)學(xué)與人類文化》,孫小禮著
[5] 《論數(shù)學(xué)》,馮·諾伊曼
[6] 《反杜林論》,恩格斯


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※ 來源:.鼓浪聽濤 bbs.xmu.edu.cn

【 原文由 cafemate 所發(fā)表 】


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數(shù)學(xué)的精神----(三)


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