作為藝術的數學

如果有同學認真看了我寫的序言，會看到我現在是M.A. 和Ph.D. 資格候選人
。這個M.A. 是拉丁文magister artium的縮寫，而Ph.D.則是拉丁文
philosophiae doctor的縮寫，這兩個頭銜直接翻譯過來就是藝術碩士，哲學博士
資格候選人，看起來似乎和數學一點關系也沒有。其實還不光是數學，在很多屬于

理科范疇的專業都既有M.A.，也有M.S.（理學碩士）。而在幾乎所有的學科，最高

學位都是Ph.D.（另外還有象醫學博士M.D., 法學博士J.D.等，但從學術的角度講
都比Ph.D.要稍差一點）。現在在西方這也只是一種從中世紀流傳下來的習慣，不
過在我看來，它還保留有一點象征性的意義----Ph.D：無論什么學科到理論的頂點

都成為哲學；M.A.：自然科學也可以是藝術的一種。

我相信大家都曾經聽說過"數學的美"這個概念。這個概念在課堂教學中雖然
從來不占主要地位，卻仍然不斷地為數學老師們所敘述。不過就我自己的經驗言，

從小學到大學，絕大部分人并不認為這種美比神話故事真實多少。確實，當你面對

成千上萬道刁鉆古怪的習題，當你必須記住一大堆公式，計算某個數值精確到小數

點后多少多少位，或者解一個要把你的草稿紙橫過來放才能寫得下的方程組的時候

，如果聽到下面這一段話，一定會覺得離自己太遙遠了：

"數學，如果正確地看它，則具有.....至高無上的美----正象雕刻的美，是
一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音

樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝

術才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種

覺得高于人的意識----這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數學里

得到。"[1]

　　正如同欣賞一首用英語寫就的英文詩我們必須掌握這一語言一樣，數學的公式

和符號，諸公理，定理體系就是這種我們必須要掌握的語言。另一方面，這些語言

本身并不具有美的意義，是它們的組合構成了美。詩有詩的組合法則，散文有散文

的，盡管它們用的可以是一種語言。這種法則是在語言背后的深層結構，通過這種

法則一個文學作品可以表達遠遠超過自面意義的內涵，從而喚起人們的美感。我們

要"看懂"一首象《荒原》這種技巧復雜的現代詩，不僅僅要懂英文或者看譯文，
弄懂它的字面意義，還要通過學習掌握必要的文學欣賞能力。現在對于一個理工科

的大學生而言，基本的幾何，代數和分析的工具都可說已經了解了，要看懂一個高

等數學定理證明的每個步驟恐怕都不難，真正極為欠缺的是第二種能力，也就是理

解并領會從左一步，右一步的推導過程中透露出來的內在規范的本領。

　　當今數學界主流認為，數學是研究模式和結構的。模式的一個簡單例子就是一

元二次方程 ax^2+bx+c=0，它的解可以借一個帶平方根的式子表示出來。這個方程

可以從許許多多完全不同的現實例子中抽象而來，但是其內在的數學性質卻是一致

的。在這個模式中，我們注意到a，b，c是"任意"的數，這個簡單的事實卻隱藏
著一個深刻的思想：我們是把一個涉及無限的命題"解所有一元二次方程"用給定
的條件（a，b，c）和結論（方程的解）之間的關系代替了無窮個具體的數值。現
實問題無窮無盡，甚至每一個具體的問題比如說扔塊石頭，看看它落到什么地方也

都具有無限精細的內部結構。可是對于人類來說，我們的認識是有限的，我們處理

這些信息的能力就更加有限：我們只能夠通過有限步邏輯推理（這是人類唯一能夠

做到的思維）去解決問題。我們是在無限中認識有限，又通過模式去把握無限。在

這里重要的不是某個具體的結論，而是從模式中體現出來的可以處理"任意"問題
的方法。這個今天看起來理所當然的方法卻經歷了漫長的歷史才被人類認識到
----從古巴比倫和古埃及發掘出來的資料顯示[2]，最早的數學只有數與數之間的
對應，沒有一般化的"公式"。按照約簡的美學觀點，這也是第一個數學的美學判
定法則，今天抽象的二次方程求根公式就比古代一堆（啟發性的）具體答案要美。

再進一步抽象，人們就不僅僅滿足于解二次方程，而是要解n次方程，相應的模式
就變成了帶有n個常數的多項式方程。是不是有一種公式，能夠把這些方程的解方
便地表達出來？如果沒有，那么我們知道多少？對于不同的方程，我們可以通過方

程的次數n來進行分類，這個次數就是類型的一種指標，不同的類型可以有不同的
處理方法----這種分類的思想，也是現代數學的一個重要特征，以至于布爾巴基學

派[3]甚至認為數學就是一個（脫離主體存在的）真理和方法的倉庫，數學家要做
的全部工作，就是把這些精美的貨物分門別類。

　　n次代數方程求解實在不是個容易的問題。事實上在將近兩千年或者更長的時
間里，代數學的主要任務就是對這個問題給出盡可能多的答案。繼二次方程以后，

數學家們又給出了三次方程的求根公式。這個公式里面含有平方根和立方根，而我

們知道，為了讓平方根"有意義"，就必須讓根式里面的數大于等于零。在二次方
程的情況下如果根式"沒有意義"就一定不會有實數解，而在三次方程里卻可能會
出現"既約情況"，也就是說在求根公式里出現了"沒有意義"的根式，但是如果
我們不管這些，帶著根號負一進行計算，那么有時這些不合理的根式會互相抵消而

得到實數解。把它們帶回原方程，我們可以檢驗它們的確是解。現在同學們都知道

，通過引入虛數，那些"沒有意義"的根式就根本不成其為一個問題。可是在歷史
上虛數的存在性及它的意義曾經引起一場激烈的論戰。虛數被譏笑為"數的鬼魂"
，一些象笛卡爾這樣的大數學也拒絕承認它。這場爭論一直要到一八零零年左右幾

何解釋虛數成功后才慢慢平靜下來。對實用主義者而言，虛數當然是一個計算的工

具，只要它有用就行了，但對于嚴肅的數學家來說卻并非如此。高斯就曾經說過，

關鍵不在于應用，而在于如果歧視這些虛量，整個分析學就會失去大量的美和靈活

性。為什么認為"歧視虛數"就不美呢？我想這是由于數學中第二個關于美的法則
在起作用：對稱性法則。當我們把虛數和實數認為是同樣真實，只是分別屬于一個

統一的復平面的橫軸和豎軸時，所有的代數方程的解對于實數和虛數而言就具有了

一種對稱性。而任何人為的"歧視"都將打破這種對稱。

自十六世紀以來，人們就開始研究五次或者更高次的代數方程的求解問題，這
個問題后來被證明是不可能的。有一個證明（按照年代來說是第三個證明）是法國

數學家E·迦羅華[4]在一種更一般的理論框架中給出的。當時他的理論是如此之新

穎和富有創意，以至于直到他死后多年人們才克服了很大的困難弄懂。迦羅華注意

到了對于一個已知方程，它的根的全部置換構成一個現在叫做迦羅華群的集合。而

方程本身的能不能通過根式求解，則和這個集合的性質有關。用現在的語言來講，

迦羅華群必須是一個可解群，解才可以寫為根式。當方程的次數n=1,2,3,4時相應
的迦羅華群是可解群，而當n大于等于5時不是。這套理論被認為是整個數學中最優

美的篇章之一，那么它美在什么地方？第一它比起以前的證明都要簡潔，第二它是

通過問題模式中的對稱性來解決問題的，最后按照A·波萊爾的說法，是因為它是
以新的概念建筑起來的新結構下提出的原理，顯示出巨大的獨創性。這里我們得到

一個新的美學概念：獨創性。獨創性和天才，靈氣是分不開的。大家在聽肖邦的音

樂，看凡高的畫時無疑可以感覺到和一般的音樂，一般的繪畫很不一樣。這種"不
一樣"所附加的美感，我想就是來自獨創性。獨創性來源于想象力和直覺，而這兩
點可以說是所有科學的共同追求目標。畢竟，如果僅僅是記熟了公式，方法，能夠

熟練地從事某種工作那只能被稱為巧匠而不是大師。

就象我在最開頭所說的，數學不是討論具體問題，而是去研究相應的模式。模
式有大有小，2x^2+1x-1=0 的解是X=1/2或者說-1，這個"具體的"結論本身其實
也是一個模式。這不僅僅是因為x可以指代許多具體的事物，還因為任何數，包括
2，1，-1，就已經不是兩塊橡皮，一根筆，欠一塊錢這些具體的東西了。那么這個

"數"本身是什么？以下的一段推理是邏輯主義對數的解釋：

一切均不存在的狀態叫做空集Φ。Φ的所有子集構成一個新的集合，叫做Φ的
冪集P{Φ}。而P{Φ}的冪集又是另外一個集合，記為P^2{Φ}。通過一些簡單的運
算，我們可以發現P^n{Φ}的基數是2^n，而通過這些集合的并我們可以得到這些基

數到正整數的一個滿射。在所有集合（及其映射）構成的范疇里，用基數或者說映

射的一一對應關系做一個等價類，把這些等價類就叫做自然數，那么我們就從無到

有，運用最簡單的集合論或者說是邏輯（集合論可以和數理邏輯有嚴格的一一對應

，一個例子就是交集就相當于邏輯中的"或"）就可以得到整個（包括零的）正整
數。然后就可以通過不相交集合的并來定義"加法"，這個擁有加法并且滿足一些
簡單性質的集合叫做半群，通過對加法半群的求逆（即減法）完備化產生出所有整

數。通過加法又可以定義乘法除法，通過對除法的完備化產生整個有理數域，而對

有理數進行戴德金分割或者對有理數收斂數列進行分類我們又得到了整個實數。有

了加法（減法）和乘法我們可以定義多項式，然后為了對求根運算封閉，我們還得

把數域擴張到全體復數。其中最典型的一個元素 i 的定義就是一個滿足 i^2=-1的

"東西"。

這一段看似非常不自然而又冗長的推理告訴我們的是一個這樣的事實，即對于
一個數學家來說，重要的不是他的研究對象的具體化，而是它們的性質，就連最基

本的研究對象：數本身，也只是某種性質的形象化說法而已。這種思維就是抽象思

維，通過不斷深刻地從小模式中抽象出必要的性質，去除（或者綜合）次要的性質

，用盡可能少的條件來推出盡可能多的結論。愛因斯坦曾經說過一句話，大意是科

學的發展就是不斷地戰勝二十歲以前人所有的"常識"。用在數學上，也十分貼切
。因為抽象常常就意味著對某種公認的常識的挑戰。在每一次的抽象過程中哪怕對

于當時最優秀的數學家來說都是一種冒險的嘗試，連象高斯這樣的大家，在生前都

不愿意發表他關于非歐幾何的開創性的文章。一旦某個抽象過程被確認下來，數學

也就隨之更加完美。因而在這里，作為純粹思維范疇的抽象性也是一種美學標準，

而這個標準，從某種程度上講是所有在數學中起作用的美學法則中最重要的一個，

作為藝術的數學，也正是一種抽象的藝術。對了談到抽象，我又想起了現代的抽象

畫和實驗性的文學創作。拿數學和它們對比十分有意思，畫家進行色彩和形態的組

合，文學家把一個個的字寫在一塊，而我們則把一定的類型通過邏輯串起來。繪畫

和文學最初是對客觀現實的模擬，古典數學也是；然而通過長期的模擬過程，人們

發現了一種超越實在的"語言"，通過這種語言可以直接達到美。畢竟，藝術家們
創造的全部藝術都必須通過人的審美來體現，從這個意義上講他們創造的真正內容

不是油畫，詩歌，而是人的沉思，感動和激情。只有這樣看，我們才能夠理解非常

不相似的文學和繪畫，音樂竟然可以擁有相似的性質，從而是統一的藝術的不同分

支。而巴羅克，洛可可，古典主義，浪漫主義，印象派，……在幾乎每一個分支里

都有代表就一點都不奇怪了。

形式是為內容服務的，而不是反過來，所以經過抽象后色彩和文字的"感性"
就遠比它所附著的形式----繪畫的主題和小說的情節更為重要。在數學上，這一步

走得更加極端----一旦某個性質被提出來，它的構造就完全可以被忘記。拿向量的

"長度"這個概念來說，它無疑具有實在的結構和意義。但是一旦我們意識到它滿
足三到四個代數性質[5]，并且我們在很多用到"長度"的定理證明中也只要這些
性質時，它的"實在性"就完全被拋開，并推廣到廣泛得多的一大類空間中去，在
那里，一個"向量"往往是一個函數。王浩[6]說，數學是一種類"純凈美"（try
beauty），意思大概就是指它可以不附加任何不必要的（為現實服務的）修飾。
這一境界對于任何一門藝術都非常不容易達到，而數學在這方面令人驕傲地走在了

所有其它藝術形式的前面。

作為一門最古老的科學，數學的分支之間的距離越來越大。同樣是搞數學，搞
分析的常常完全看不懂代數方向的論文；同是搞分析，搞微分方程的和搞多復變的

也沒有什么共同語言；同是搞微分方程，常微分方程和偏微分方程也天差地遠；甚

至同屬偏微分方程，橢圓型方程用的工具和拋物型又大不一樣。數學這棵大樹，分

支看來是越來越往互不相干的方向在發展了。然而這一看似危險的分裂主義傾向卻

從來沒有真正動搖數學作為一個思想體系的統一性。哈爾莫斯[7]是這樣說的："
數學如今生氣勃勃，分支如此眾多，各分支又如此廣博，基本上無人能全部了解。

……但這不要緊，無論演講是關于無界算子，交換群還是可平行曲面，相距很遠的

數學各部分之間的相互影響常常會出現。一個部分的概念，方法常常會對所有其他

部分有啟示。這一體系作為一個整體的統一性令人驚嘆。"的確，在歷史上曾經有
過幾何和代數完全脫節的時期，兩個分支各自"過度"發展，變得無聊，極端復雜
。比方說我們大家都不會對平面幾何的怪題感到陌生，而對于古典代數當時情況也

好不了多少。設想一下，在中世 團分薜 某一個地方，一位運氣?好的皇帝?他的
朝臣們在一起，聽一位有學問的意大利人講解一個三次方程的解法。可憐的人們
-----那位可愛的意大利人整整花了一個下午啊！如果沒有魔法吸引住他們的注意
力，他們肯定要打哈欠的！[8]

幸運的是，笛卡爾坐標系的建立開創了幾何代數化的歷程。而這種聯合無疑為
人們認識什么是古典幾何和代數的精華提供了一個標準，使得人們可以把那些人為

過度發展的分支拋開，集中精力研究那些更加深刻的問題。有了解析幾何，才有了

微機分和現代數學分析。再往后到了十九世紀末，當數學又一次陷于過分分叉和復

雜化時，新的突破又出現了：人們發現定義"連續性""極限"只要有開集就行了
！再后來人們更以此為基礎發現了一種描述空間在連續變形下不變性質的群，從而

把現代代數和空間的幾何性質聯系起來。另外一個方面，"垂直"，"線性"和"
距離"的概念，完全可以脫離有限維的歐氏空間，搬到類似"全體連續函數"這樣
的函數集合上去，并且在很大一類空間上可以建立坐標系，從而應用類似解析幾何

的方法來成批地研究函數，泛函數和算子。這兩個不同的抽象方向就導致了拓撲和

泛函分析的創立，體現了代數，幾何和分析這三個高度分化的學科之間內在的統一

性。而這種奇妙的統一性，既體現了數學的生命力，更反映出了造物的和諧。"和
諧"是一個美學概念我想就不用我多講了。這個概念恐怕是最神秘的一個，我們可
以把握哪怕是最艱深的抽象，我們可以給所有的對稱性分們別類，我們更能夠（幾

乎是本能地）知道簡化的重要性，然而沒有一次統一的和諧不是"偶然"出現的，
我們只能憑著信仰來感受這種和諧。這種"科學的"信仰其實和無條件的宗教信仰
并沒有本質的區別，在約翰福音中耶穌說，"我就是道路，真理，生命，若不籍著
我，沒有人能到父那里去"。按照我們數學的慣例，這句話也可以理解為真理和生
命就是基督的一種比較抽象的說法。G. Hardy就曾經說過，"我相信，數學實體
是在我們之外而存在的，我們的職能就是去發現它，觀察它，我們證明的定理，我

們夸張地說成是我們的'創造'的那些定理，不過是我們觀察的記錄而已。"[9]
對于一個數學家，他一生都在創造方法和手段，但是沒有一種手段本身可以保證他

明天能夠發現什么，或者發現的都是"有價值"的。他最后的力量依然是存在真理
世界和通向真理的道路的強烈信心。

我的俄國師兄曾經和我聊天，他那時正在為他的學生不會也不愿算積分題而煩
惱。不過他的抱怨是暫時的，因為他自己就認為將來這種技巧會隨著計算器的發展

而變得越來越不重要。我們做四則運算肯定不如大部分中學生快，但那不要緊，我

們的任務不是算加減乘除，我們是要去發現和創新。甚至當有一天機器也擁有了發

現和創新的本領時（這一點我的師兄深信不疑），我們也不會餓死，因為我們還可

以作為藝術家而活下去。甚至于有些數學家象G. Hardy干脆就認為如果說數學有什

么存在的理由的話，那就只是作為藝術而存在[10]。當我們意識到數學中的藝術性

不僅僅是一種外帶的附加的屬性，而且是人類思考一個最根本的價值時，也許就會

象我一樣認為，當愛因斯坦說他不相信上帝會擲色子時，他的信心與其說是某種客

觀實踐或者是邏輯推理，不如說是對他的上帝----自然真理之完美的深信不疑。

*********

說明： 本文參照A·波萊爾的演講《數學：藝術與科學》一文寫出。所有該文的引

用不另行注出。

[1] 引自M·克萊因的《數學與文化----是與非的觀念》一書，原文引自伯特蘭·
羅素。
[2] 參看《An Introduction to the History of mathematics》，Howard Eves著

。
[3] 布爾巴基（Bourbaki）學派：一九三零年左右一批數學家（主要是法國人）試

圖寫一本包羅萬有的數學全集，后來對整個當代數學的發展起到了非常大的影響。

[4] 參見附錄《迦羅華小傳》。
[5] 非負性，對稱性，三角不等式和一個等式：|V|=0 ==> V=0。
[6] 王浩（H. Wang）美國華裔數學家。
[7] P.R. 哈爾莫斯（Halmos），美國數學家。后面的引文出自其有名的文章《應
用數學是壞數學》。
[8] 引自A.N. 懷特海（Whitehead），《數學與善》。
[9] G. Hardy, 《A Mathematician's Apology》。
[10]同上。

--

其他文章：

一百個最有用的網站地址

試圖通俗地講一下龐加萊猜想是怎么回事

月光理論及推論

音樂中的數學

[轉載] 數學的精神----（一）

[轉載] 數學的精神----（三）

論數學真理觀的后現代轉向

廣中平佑：數學中的創造性

價廉物美的三維克萊因瓶（Klein Bottle）

諾貝爾經濟學獎與數學
※ 來源:．鼓浪聽濤 bbs.xmu.edu.cn

【 原文由 cafemate 所發表 】

google_ad_client = "pub-2416224910262877"; google_ad_width = 728; google_ad_height = 90; google_ad_format = "728x90_as"; google_ad_channel = ""; google_color_border = "E1771E"; google_color_bg = "FFFFFF"; google_color_link = "0000FF"; google_color_text = "000000"; google_color_url = "008000";

數學的精神----（二）