分治算法
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在計(jì)算機(jī)科學(xué)中,分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”,就是把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分成兩個(gè)或更多的相同或相似的子問(wèn)題,再把子問(wèn)題分成更小的子問(wèn)題……直到最后子問(wèn)題可以簡(jiǎn)單的直接求解,原問(wèn)題的解即子問(wèn)題的解的合并。這個(gè)技巧是很多高效算法的基礎(chǔ),如排序算法(快速排序,歸并排序),傅立葉變換(快速傅立葉變換)……
??? 任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模有關(guān)。問(wèn)題的規(guī)模越小,越容易直接求解,解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如,對(duì)于n個(gè)元素的排序問(wèn)題,當(dāng)n=1時(shí),不需任何計(jì)算。n=2時(shí),只要作一次比較即可排好序。n=3時(shí)只要作3次比較即可,…。而當(dāng)n較大時(shí),問(wèn)題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問(wèn)題,有時(shí)是相當(dāng)困難的。
??? 分治法的設(shè)計(jì)思想是,將一個(gè)難以直接解決的大問(wèn)題,分割成一些規(guī)模較小的相同問(wèn)題,以便各個(gè)擊破,分而治之。
??? 分治策略是:對(duì)于一個(gè)規(guī)模為n的問(wèn)題,若該問(wèn)題可以容易地解決(比如說(shuō)規(guī)模n較小)則直接解決,否則將其分解為k個(gè)規(guī)模較小的子問(wèn)題,這些子問(wèn)題互相獨(dú)立且與原問(wèn)題形式相同,遞歸地解這些子問(wèn)題,然后將各子問(wèn)題的解合并得到原問(wèn)題的解。這種算法設(shè)計(jì)策略叫做分治法。
??? 如果原問(wèn)題可分割成k個(gè)子問(wèn)題,1<k≤n ,且這些子問(wèn)題都可解并可利用這些子問(wèn)題的解求出原問(wèn)題的解,那么這種分治法就是可行的。由分治法產(chǎn)生的子問(wèn)題往往是原問(wèn)題的較小模式,這就為使用遞歸技術(shù)提供了方便。在這種情況下,反復(fù)應(yīng)用分治手段,可以使子問(wèn)題與原問(wèn)題類(lèi)型一致而其規(guī)模卻不斷縮小,最終使子問(wèn)題縮小到很容易直接求出其解。這自然導(dǎo)致遞歸過(guò)程的產(chǎn)生。分治與遞歸像一對(duì)孿生兄弟,經(jīng)常同時(shí)應(yīng)用在算法設(shè)計(jì)之中,并由此產(chǎn)生許多高效算法。
??? 分治法所能解決的問(wèn)題一般具有以下幾個(gè)特征:
??? 1) 該問(wèn)題的規(guī)模縮小到一定的程度就可以容易地解決
??? 2) 該問(wèn)題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問(wèn)題,即該問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。
??? 3) 利用該問(wèn)題分解出的子問(wèn)題的解可以合并為該問(wèn)題的解;
??? 4) 該問(wèn)題所分解出的各個(gè)子問(wèn)題是相互獨(dú)立的,即子問(wèn)題之間不包含公共的子子問(wèn)題。
??? 上述的第一條特征是絕大多數(shù)問(wèn)題都可以滿(mǎn)足的,因?yàn)閱?wèn)題的計(jì)算復(fù)雜性一般是隨著問(wèn)題規(guī)模的增加而增加;第二條特征是應(yīng)用分治法的前提它也是大多數(shù)問(wèn)題可以滿(mǎn)足的,此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用;第三條特征是關(guān)鍵,能否利用分治法完全取決于問(wèn)題是否具有第三條特征,如果具備了第一條和第二條特征,而不具備第三條特征,則可以考慮用貪心法或動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。第四條特征涉及到分治法的效率,如果各子問(wèn)題是不獨(dú)立的則分治法要做許多不必要的工作,重復(fù)地解公共的子問(wèn)題,此時(shí)雖然可用分治法,但一般用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法較好。
??? 分治法的基本步驟
??? 分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟:
??? 分解:將原問(wèn)題分解為若干個(gè)規(guī)模較小,相互獨(dú)立,與原問(wèn)題形式相同的子問(wèn)題;
??? 解決:若子問(wèn)題規(guī)模較小而容易被解決則直接解,否則遞歸地解各個(gè)子問(wèn)題
??? 合并:將各個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解。
??? 它的一般的算法設(shè)計(jì)模式如下:
??? Divide-and-Conquer(P)
??? 1. if |P|≤n0
??? 2. then return(ADHOC(P))
??? 3. 將P分解為較小的子問(wèn)題 P1 ,P2 ,...,Pk
??? 4. for i←1 to k
??? 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi
??? 6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子問(wèn)題
??? 7. return(T)
??? 其中|P|表示問(wèn)題P的規(guī)模;n0為一閾值,表示當(dāng)問(wèn)題P的規(guī)模不超過(guò)n0時(shí),問(wèn)題已容易直接解出,不必再繼續(xù)分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法,用于直接解小規(guī)模的問(wèn)題P。因此,當(dāng)P的規(guī)模不超過(guò)n0時(shí)直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是該分治法中的合并子算法,用于將P的子問(wèn)題P1 ,P2 ,...,Pk的相應(yīng)的解y1,y2,...,yk合并為P的解。
??? 分治法的復(fù)雜性分析
??? 一個(gè)分治法將規(guī)模為n的問(wèn)題分成k個(gè)規(guī)模為n/m的子問(wèn)題去解。設(shè)分解閥值n0=1,且adhoc解規(guī)模為1的問(wèn)題耗費(fèi)1個(gè)單位時(shí)間。再設(shè)將原問(wèn)題分解為k個(gè)子問(wèn)題以及用merge將k個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解需用f(n)個(gè)單位時(shí)間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為|P|=n的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間,則有:
??? 通過(guò)迭代法求得方程的解:
??? 遞歸方程及其解只給出n等于m的方冪時(shí)T(n)的值,但是如果認(rèn)為T(mén)(n)足夠平滑,那么由n等于m的方冪時(shí)T(n)的值可以估計(jì)T(n)的增長(zhǎng)速度。通常假定T(n)是單調(diào)上升的,從而當(dāng)mi≤n<mi+1時(shí),T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。
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來(lái)自:http://c.chinaitlab.com/200909/793033.html
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