實用算法 ( 基礎(chǔ)算法 - 遞推法 -01) |
有一類試題,每相鄰兩項數(shù)之間的變化有一定的規(guī)律性,我們可將這種規(guī)律歸納成如下簡捷的遞推關(guān)系式: Fn=g(Fn-1) 這就在數(shù)的序列中,建立起后項和前項之間的關(guān)系,然后從初始條件 ( 或最終結(jié)果 ) 入手,一步步地按遞推關(guān)系遞推,直至求出最終結(jié)果 ( 或初始值 ) 。很多程序就是按這樣的方法逐步求解的。如果對一個試題,我們要是能找到后一項與前一項的關(guān)系并清楚其起始條件 ( 最終結(jié)果 ) ,問題就好解決,讓計算機一步步算就是了,讓高速的計算機做這種重復(fù)運算,可真正起到 “ 物盡其用 ” 的效果。 遞推分倒推法和順推法兩種形式。一般分析思路: if 求解條件 F1 then begin{ 倒推 } 由題意 ( 或遞推關(guān)系 ) 確定最終結(jié)果 Fa ; 求出倒推關(guān)系式 Fi-1=g'(Fi); i=n;{ 從最終結(jié)果 Fn 出發(fā)進(jìn)行倒推 } while 當(dāng)前結(jié)果 Fi 非初始值 F1 do 由 Fi-1=g(F1) 倒推前項; 輸出倒推結(jié)果 F1 和倒推過程; end {then} else begin{ 順推 } 由題意 ( 或順推關(guān)系 ) 確定初始值 F1( 邊界條件 ) ; 求出順推關(guān)系式 F1=g(Fi-1); i=1;{ 由邊界條件 F1 出發(fā)進(jìn)行順推 } while 當(dāng)前結(jié)果 Fi 非最終結(jié)果 Fn do 由 Fi=g(Fi-1) 順推后項; 輸出順推結(jié)果 Fn 和順推過程; end; {else} 一、倒推法 所謂倒推法,就是在不知初始值的情況下,經(jīng)某種遞推關(guān)系而獲知問題的解或目標(biāo),再倒推過來,推知它的初始條件。因為這類問題的運算過程是一一映射的,故可分析得其遞推公式。然后再從這個解或目標(biāo)出發(fā),采用倒推手段,一步步地倒推到這個問題的初始陳述。 下面舉例說明。 [ 例 1] 貯油點 一輛重型卡車欲穿過 1000 公里的沙漠,卡車耗油為 1 升 / 公里,卡車總載油能力為 500 公升。顯然卡車一次是過不了沙漠的。因此司機必須設(shè)法在沿途建立幾個儲油點,使卡車能順利穿越沙漠,試問司機如何建立這些儲油點?每一儲油點應(yīng)存多少油,才能使卡車以消耗最少油的代價通過沙漠? 算法分析: 編程計算及打印建立的貯油點序號,各貯油點距沙漠邊沿出發(fā)的距離以及存油量。 No. Distance(k.m.) oil(litre) 1 X X X X 2 X X X X 3 X X X X ........ ...... 設(shè) dis[i] 為第 i 個貯油點至終點 (i=0) 的距離; oil[i] 為第 i 個貯油點的存貯油量; 我們可以用倒推法來解決這個問題。從終點向始點倒推,逐一求出每個貯油點的位置及存油量。 下圖表示倒推時的返回點:
從貯油點 i 向貯油點 i+1 倒推的策略是,卡車在點 i 和點 i+1 間往返若干次。卡車每次返回 i+1 處時正好耗盡 500 公升汽油,而每次從 i+1 出發(fā)時又必須裝足 500 公升汽油。兩點之間的距離必須滿足在耗油最少的條件下使 i 點貯足 i*500 分升汽油的要求 (0<=i<=n-1) 。具體地講,第一個貯油點 i=1 應(yīng)距終點 i=0 處 500km 且在該處貯藏 500 公升汽油,這樣才能保證卡車能由 i=1 處到達(dá)終點 i=0 處,這就是說 dis[1]=500 oil[1]=500; 為了在 i=1 處貯藏 500 公升汽油,卡車至少從 i=2 處開兩趟滿載油的車至 i=1 處。所以 i=2 處至少貯有 2*500 公升汽油,即 oil[2]=500*2=1000 。另外,再加上從 i=1 返回至 i=2 處的一趟空載,合計往返 3 次。三次往返路程的耗油量按最省要求只能為 500 公升。即 d12=500/3km dis[2]=dis[1]+d12=dis[1]+500/3
為了在 i=2 處貯存 1000 公升汽油,卡車至少從 i=3 處開三趟滿載油的車至 i=2 處。報以 i=3 處至少貯有 3*500 公升汽油,即 oil[3]=500*3=1500 。加上 i=2 至 i=3 處的二趟返程空車,合計 5 次。路途耗油量也應(yīng)為 500 公升,即 d23=500/5, dis[3]=dis[2]+d23=dis[2]+500/5;
依此類推,為了在 i=k 處貯藏 k*500 公升汽油,卡車至少從 i=k+1 處開 k 趟滿載車至 i=k 處,即 oil[k+1]=[k+1]*500=oil[k]+500 ,加上從 i=k 處返回 i=k+1 的 k-1 趟返程空間,合計 2k-1 次。這 2k-1 次總耗油量按最省要求為 500 公升,即 dk,k+1=500/(2k-1) dis[k+1]=dis[k]+dk,k+1 =dis[k]+500/(2k-1);
最后, i=n 至始點的距離為 1000-dis[n],oil[n]=500*n 。為了在 i=n 處取得 n*500 公升汽油,卡車至少從始點開 n+1 次滿載車至 i=n ,加上從 i=n 返回始點的 n 趟返程空車,合計 2n+1 次, 2n+1 趟的總耗油量應(yīng)正好為 (1000-dis[n])*(2n+1) ,即始點藏油為 oil[n]+(1000-dis[n])*(2n+1) 。 下面為程序代碼: program oil_lib; var k:integer; { 貯油點位置序號 } d, { 累計終點至當(dāng)前貯油點的距離 } d1:real;{i=n 至始點的距離 } oil,dis:array[1..10] of real; i:integer; { 輔助變量 } begin writeln('NO.','distance(k.m)':30,'oil(1.)':80); k:=1; d:=500; { 從 i=1 處開始向始點倒推 } dis[1]:=500; oil[1]:=500; repeat k:=k+1; d:=d+500/(2*k-1); dis[k]:=d; oil[k]:=oil[k-1]+500; until d>=1000;
dis[k]:=1000; { 置始點至終點的距離值 } d1:=1000-dis[k-1]; { 求 i=n 處至始點的距離 } oil[k]:=d1*(2*k+1)+oil[k-1]; { 求始點藏油量 } for i:=0 to k do { 由始點開始,逐一打印始點至當(dāng)前貯油點的距離和藏油量 } writeln(i,1000-dis[k-i]:30,oil[k-i]:80); end. {main}
轉(zhuǎn)換為 C 語言程序如下: #include<stdio.h> void main() { int k;/* 貯油點位置序號 */ float d,d1; /*d: 累計終點至當(dāng)前貯油點的距離 ,d1:i=n 至始點的距離 */ float oil[10],dis[10]; int i; printf("NO. distance(k.m.)/toil(l.)/n"); k=1; d=500; /* 從 i=1 處開始向始點倒推 */ dis[1]=500; oil[1]=500; do{ k=k+1; d=d+500/(2*k-1); dis[k]=d; oil[k]=oil[k-1]+500; }while(!(d>=1000)); dis[k]=1000; /* 置始點至終點的距離值 */ d1=1000-dis[k-1]; /* 求 i=n 處至始點的距離 */ oil[k]=d1*(2*k+1)+oil[k-1]; /* 求始點藏油量 */ for(i=0;i<k;i++) /* 由始點開始逐一打印始點至當(dāng)前貯油點的距離和藏油量 */ printf("%d/t%f/t%f/t/n",i,1000-dis[k-i],oil[k-i]); }
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實用算法 ( 基礎(chǔ)算法 - 遞推法 -02) |
順推法 倒推法的逆過程就是順推法,即由邊界條件出發(fā),通過遞推關(guān)系式推出后項值,再由后項值按遞推關(guān)系式推出再后項值 ...... ,依次遞推,直至從問題初始陳述向前推進(jìn)到這個問題的解為止。 實數(shù)數(shù)列:一個實數(shù)數(shù)列共有 N 項,已知 ai=(ai-1-ai+1)/2+d, (1<i<N)(N<60) 鍵盤輸入 N,d,a1,an,m, 輸出 am 輸入數(shù)據(jù)均不需判錯。 算法分析: 分析該題,對公式: Ai=(Ai-1-Ai+1)/2+d (1<i<N) (n<60) 作一翻推敲,探討其數(shù)字變換規(guī)律。不然的話會無從下手。 令 X=A2 s2[i]=(pi,Qi,Ri) 表示 Ai=PiX+QiD+RiA1 我們可以根據(jù) Ai=Ai-2-2Ai-1+2D =PiX+QiD+RiA1
A(i-1)=( A(i-2)-A(i) )/2+d, 可以推出 A(i)=A(i-2)-2A(i-1)+2d A(i)=A(i-2)-2A(i-1)+2d=P(i)X+Q(i)d+R(i)A(1) 所以 A(i-2)=P(i-2)X+Q(i-2)d+R(i-2)A(1) A(i-1)=P(i-1)X+Q(i-1)d+R(i-1)A(1) 這樣就推出 PiX+QiD+RiA1=(Pi-2-2Pi-1)X+(Qi-2-2Qi-1+2)D+(Ri-2-2Ri-1)A1
推出公式 PiX+QiD+RiA1=(Pi-2-2Pi-1)X+(Qi-2-2Qi-1+2)D+(Ri-2-2Ri-1)A1 比較等號兩端 X,D 和 A1 的系數(shù)項,可得 Pi=Pi-2-2Pi-1 Qi=Qi-2-2Qi-1+2 Ri=Ri-2-2Ri-1 加上兩個邊界條件 P1=0 Q1=0 R1=1 (A1=A1) P2=1 Q2=0 R2=0 (A2=A2) 根據(jù) Pi 、 Qi 、 Ri 的遞推式,可以計算出 S2[1]=(0,0,1); S2[3]=(-2,2,1); S2[4]=(5,-2,-2); S2[5]=(-12,8,5); ................... S2[i]=(Pi,Qi,Ri); ................... S2[N]=(PN,QN,RN); 有了上述基礎(chǔ), AM 便不難求得。有兩種方法: 1 、由于 AN 、 A1 和 PN 、 QN 、 RN 已知,因此可以先根據(jù)公式: A2=AN-QND-RNA1/PN 求出 A2 。然后將 A2 代入公式 A3=A1-2A2+2D 求出 A3 。然后將 A3 代入公式 A4=A2-2A3+2D 求出 A4 。然后將 A4 代入公式 ............................ 求出 Ai-1 。然后將 Ai-1 代入公式 Ai=Ai-2-2Ai-1+2D 求出 Ai 。依此類推,直至遞推至 AM 為止。 上述算法的缺陷是由于 A2 是兩數(shù)相除的結(jié)果,而除數(shù) PN 遞增,因此精度誤差在所難免,以后的遞推過程又不斷地將誤差擴(kuò)大,以至當(dāng) M 超過 40 時,求出的 AM 明顯徧離正確值。顯然這種方法簡單但不可靠。 2 、我們令 A2=A2,A3=X ,由 S3[i]=(Pi,Qi,Ri) 表示 Ai=PiX+QiD+RiA2 (i>=2) 可計算出: S3[2]=(0,0,1)=S2[1]; S3[3]=(1,0,0)=S2[2]; S3[4]=(-2,2,1)=S2[3]; S3[5]=(5,-2-2)=S2[4]; ...................... S3[i]=(..........)=S2[i-1]; ..................... S3[N]=(..........)=S2[N-1]; 再令 A3=A3,A4=X, 由 S4[i]=(pi,Qi,Ri) 表示 Ai=PiX+QiD+RiA3 (i>=3) 可計算得出: S4[3]=(0,0,1)=S3[2]=S2[1]; S4[4]=(1,0,0)=S3[3]=S2[2]; S4[5]=(-22,1)=S3[4]=S2[3]; .......................... S4[i]=(...........)=S3[i-1]=S2[i-2]; ....................... S4[N]=(...........)=S3[N-1]=S2[N-2]; 依此類推,我們可以發(fā)現(xiàn)一個有趣的式子: AN=PN-i+2*Ai+QN-i+2*D+RN-i+2*Ai-1, 即 Ai=(AN-QN-i+2*D-RN-i+2*Ai-1)/PN-i+2 我們從已知量 A1 和 AN 出發(fā),依據(jù)上述公式順序遞推 A2 、 A3 、 ... 、 AM. 由于 PN-i+2 遞減,因此最后得出的 AM 要比第一種算法趨于精確。 程序代碼如下: program ND1P4; const maxn=60; var n,m,i:integer; d:real; list :array[1..maxn] of real;{list[i]------- 對應(yīng) ai} s:array[1..maxn,1..3] of real;{s[i,1]-------- 對應(yīng) Pi} {s[i,2]-------- 對應(yīng) Qi} {s[i,3]-------- 對應(yīng) Ri} procedure init; begin write('n m d ='); readln(n,m,d);{ 輸入項數(shù),輸出項序號和常數(shù) } write('a1 a',n,'='); readln(list[1],list[n]);{ 輸入 a1 和 an} end;{init} procedure solve; begin s[1,1]:=0;s[1,2]:=0;s[1,3]:=1; { 求遞推邊界 (P1,Q1,R1) 和 (P2,Q2,R2)} s[2,1]:=1;s[2,2]:=0;s[2,3]:=0;{ 根據(jù)公式 Pi<---Pi-2 - 2*Pi-1} {Qi<---Qi-2 - 2*Qi-1} {Ri<---Ri-2 - 2*Ri-1} { 遞推 (P3,Q3,R3)......Pn,Qn,Rn)} fori:=3 to n do begin s[i,1]:=s[i-2,1]-2*s[i-1,1]; s[i,2]:=s[i-2,2]-2*s[i-1,2]+2; s[i,3]:=s[i-2,3]-2*s[i-1,3]; end; {for} end;{solve} procedure main; begin solve;{ 求 (P1,Q1,R1)..(Pn,Qn,Rn)} { 根據(jù)公式 Ai=(An-Qn-i+2 * d-Rn-i+2 * Ai-1)/Pn-i+2} { 遞推 A2..Am} for i:=2 to m do list[i]:=(list[n]-s[n-i+2,2]*d-s[n-i+2,3]*list[i-1])/s[n-i+2,1]; writeln('a',m,'=',list[m]:20:10);{ 輸出 Am} end;{main} begin init;{ 輸入數(shù)據(jù) } main;{ 遞推和輸出 Am} readln; end.{main}
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