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機器學習-核Fisher LDA算法

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? 本文在我的上一篇博文 機器學習-特征選擇(降維) 線性判別式分析(LDA) ?的基礎上進一步介紹核Fisher LDA算法。

? 之前我們介紹的LDA或者Fisher LDA都是線性模型,該模型簡單,對噪音的魯棒性較好,不容易過擬合,但是,簡單模型的表達能力會弱一些,為了增加LDA算法的表達能力,我們可以將數據投影到非線性的方向上去。為了達到這個目的,我們可以先將數據非線性的投影到一個特征空間F內,然后在這個F空間內計算Fisher 線性判別式,達到降維的目的。

? 首先介紹一下核函數的概念:

? 如果F空間的維數非常高甚至是無窮維數,那么單純的只是將原數據投影到F空間就是一個很大的計算量。但是,我們可以并不顯式的進行數據的投影,而只是計算原數據的點乘:(Φ?(x)·Φ?(y)).如果我們可以快速高效的計算出點乘來,那么我們可以無須將原數據投影到F空間就解決問題(關于這一點,Andrew Ng的講義中舉過一些例子,詳見附錄1)。我們使用Mercer核:k(x,y)=(Φ?(x)·Φ?(y)),可以選擇高斯徑向基函數核(Gaussian RBF):k(x,y)=exp(-|x-y| 2 /c),或者多項式核:k(x,y)=(x·y) d ,或者S形核:tanh(kx·y-δ),其中c,d和δ都是正的常數。

? 我們用Φ表示一個投影到F特征空間的映射函數,為了得到F空間內的Fisher線性判別式,我們需要最大化:?

? ?? ? ? 式子-1

? 其中ω ∈F空間,而S B Φ 和S W Φ 分別為:

?? 機器學習-核Fisher LDA算法_第1張圖片

? 我們需要將式子-1轉換成一個只含有點乘的形式,這樣的話我們就可以只使用核函數來表達式子-1了。

? 我們知道,任意F空間內的解ω都可以由投影到F空間內的原數據組合得到:

? ?? ? 式子-2

? 根據式子-2,以及m i Φ 的定義,我們能夠得到:

? ?? ? ? 式子-3

? 其中:

? 根據式子-3和S B Φ 的定義,式子-1中的分子可以寫為:

?? ? ? 式子-4

? 其中 .

? 根據式子-2和m i Φ 的定義,式子-1中的分母可以寫為:

?? ? ? 式子-5

? 其中 ,K j 是一個l*l j 的矩陣: ,I是單位矩陣,l lj 是所有項都是1/l j 的矩陣。

? 由式子-4和式子-5可以得到,我們只需要最大化

?? ? 式子-6?

? 與Fisher LDA一樣,最大化式子-6的解為N -1 M矩陣的最大的特征值對應的特征向量。

? 原數據在ω的投影為:

??

? 附錄1 . Andrew Ng關于核函數可能比先將數據投影到F空間,然后再點乘計算復雜度更小的例子:

? 我們考慮核函數K(x,z)=(x T z) 2

? 其中x和z都是N維向量,如果直接計算上式(核函數),則計算復雜度為O(N),亦即和數據的維數是線性的關系。

? 接下來看一下首先將數據投影到新空間,然后計算K(x,z)的過程和計算復雜度,首先重新表達K(x,z):

?? 機器學習-核Fisher LDA算法_第2張圖片

? 然后 將數據x和z利用Φ(·)投影到新空間,亦即:

?? 機器學習-核Fisher LDA算法_第3張圖片

? 最后計算K(x,z)= ??Φ(x)*Φ(z)。我們可以看到,計算Φ(·)的復雜度為O(N 2 ).

? 所以,在有些情況下,K(x,z)本身可能比較容易計算,而Φ(·)的計算量反而可能會更大。

? 參考文獻

?? [1]? Fisher Discriminant Analysis with Kernals . Sebastian Mika, Gunnar Ratsch, Jason Weston, Bernhadr Scholkopf, Klaus-Robert Muller.

? [2]? Fisher Linear Discriminant Analysis . Max Welling.

? [3] CS229 Lecture notes, Part 5, Support Vector Machine . Andrew Ng.

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