write by 九天雁翎(JTianLing) -- blog.csdn.net/vagrxie
說明
因為大學時在高等數學課程中學習過線性代數相關的內容，所以學習3D編程的時候這一段事實上是跳過去了，學習到某些內容的時候覺得很郁悶，（4，5年沒有用了，難免忘掉）最后常常依靠高級API完成，但是事實上這些高級API的算法具體實現啥的基本看不懂，于是還是決定回來好好的將基礎部分弄明白，當然，首先是數學部分。為了更好的達到直觀的效果，還有在復雜矩陣運算的時候驗證運算結果，將引入freemat或者scilab（5.1.1）或者GNU Octave(3.2.3)的使用，將此三個軟件作為matlab的替代品來使用。不能用龐大的matlab也是種解脫，默認使用freemat,不行的時候考慮其他替代。具體牽涉到計算的時盡量實現DirectX與Irrlicht兩個版本，也會參考部分源代碼。（主要用于看看公式用C/C++的實現）基本上，我希望能以概念的講解為主，最好是直觀的講解。
向量
只用大小就能表示的量叫數量，比如溫度，質量等。既需要用大小表示，同時還要指明方向的量叫向量，比如位移，速度等。幾何學中，我們用有向線段來表示向量。有兩個變量可以確定一個向量,即向量的長度和向量的方向。量與位置無關，有相同長度和方向的兩個向量是相等的。在irrlicht中有專門的類vector2d,vector3d分別來表示2維的，3維的向量。在DirectX中用于表示向量的是結構D3DXVECTOR2，D3DXVECTOR3,D3DXVECTOR4。
左右手坐標系
一圖勝前言，不懂怎么用手扭曲的去比劃的看看圖，就明白啥是左手，啥是右手坐標系了。在OpenGL中使用的是右手坐標系，DirectX,Irrlicht中使用的是左手坐標系。（圖片來自于網絡）
向量的模
向量的大小（或長度）稱為向量的模，向量a的模記為||a||。下面以3維的向量（3D中用的最多）為例：
在irrlicht中獲取向量模的函數是vector3d的成員函數
//! Get length of the vector.
T getLength
()
const
{
return
core
::
squareroot
(
X
*
X
+
Y
*
Y
+
Z
*
Z
); }
//! Get squared length of the vector.
/** This is useful because it is much faster than getLength().
/return Squared length of the vector. */
T getLengthSQ
()
const
{
return
X
*
X
+
Y
*
Y
+
Z
*
Z
; }
可以看出公式的實現，其中getLengthSQ用于某些時候使用不開根號，直接使用平方值的方法來優化代碼。
DirectX中的實現差不多一樣，只是使用的是C風格的接口沒有使用C++的類而已。
D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3Length
(
CONST D3DXVECTOR3
*
pV
)
{
#ifdef
D3DX_DEBUG
if(!pV)
return 0.0f;
#endif
#ifdef
__cplusplus
return
sqrtf
(
pV
->
x
*
pV
->
x
+
pV
->
y
*
pV
->
y
+
pV
->
z
*
pV
->
z
);
#else
return (FLOAT) sqrt(pV->x * pV->x + pV->y * pV->y + pV->z * pV->z);
#endif
}
D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3LengthSq
(
CONST D3DXVECTOR3
*
pV
)
{
#ifdef
D3DX_DEBUG
if(!pV)
return 0.0f;
#endif
return
pV
->
x
*
pV
->
x
+
pV
->
y
*
pV
->
y
+
pV
->
z
*
pV
->
z
;
}
FreeMat:
--> a = [1, 1, 1]
a =
1 1 1
--> b = norm(a)
b =
1.7321
-->
|
三維空間中兩點的距離
公式：
Irrlicht的實現：
//! Get distance from another point.
/** Here, the vector is interpreted as point in 3 dimensional space. */
T getDistanceFrom
(
const
vector3d
<
T
>&
other
)
const
{
return
vector3d
<
T
>(
X
-
other
.
X
,
Y
-
other
.
Y
,
Z
-
other
.
Z
).
getLength
();
}
//! Returns squared distance from another point.
/** Here, the vector is interpreted as point in 3 dimensional space. */
T getDistanceFromSQ
(
const
vector3d
<
T
>&
other
)
const
{
return
vector3d
<
T
>(
X
-
other
.
X
,
Y
-
other
.
Y
,
Z
-
other
.
Z
).
getLengthSQ
();
}
向量的規范化
向量的規范化也稱（歸一化）就是使向量的模變為1，即變為單位向量。可以通過將向量都除以該向量的模來實現向量的規范化。規范化后的向量相當于與向量同方向的單位向量，可以用它表示向量的方向。由于方向的概念在3D編程中非常重要，所以此概念也很重要，單位向量有很多重要的性質，在表示物體表面的法線向量時用的更是頻繁。
基本的公式：
在irrlicht中的調用函數及實現：
//! Normalizes the vector.
/** In case of the 0 vector the result is still 0, otherwise
the length of the vector will be 1.
/return Reference to this vector after normalization. */
vector3d
<
T
>&
normalize
()
{
f64 length
= (
f32
)(
X
*
X
+
Y
*
Y
+
Z
*
Z
);
if
(
core
::
equals
(
length
, 0.0))
// this check isn't an optimization but prevents getting NAN in the sqrt.
return
*
this
;
length
=
core
::
reciprocal_squareroot
( (
f64
) (
X
*
X
+
Y
*
Y
+
Z
*
Z
) );
X
= (
T
)(
X
*
length
);
Y
= (
T
)(
Y
*
length
);
Z
= (
T
)(
Z
*
length
);
return
*
this
;
}
上述代碼中首先計算length以防其為0，然后直接計算1/||u||,（這樣做的目的從代碼實現上來看是因為SSE,Nviadia都有可以直接計算此值的能力） 然后再分別與各坐標值進行乘法運算。
DirectX中的調用函數：(無實現可看）
D3DXVECTOR3
*
WINAPI D3DXVec3Normalize
(
D3DXVECTOR3
*
pOut
,
CONST D3DXVECTOR3
*
pV
);
向量的加減法，數乘
太簡單，不多描述，無非就是對應的加，減，乘罷了，幾何意義講一下，加法可以看做是兩個向量綜合后的方向，減法可以看做兩個向量的差異方向（甚至可以用于追蹤算法），數乘用于對向量進行縮放。
為了完整，這里從 百度百科 拷貝一段資料過來：（以下都是2維的，放到3維也差不多）
設 a =（x，y）， b =(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB + BC = AC 。
a + b =(x+x'，y+y')。
a + 0 = 0 + a = a。
向量加法的運算律：
交換律： a + b = b + a；
結合律：( a + b )+ c = a +( b + c )。
2、向量的減法
如果 a 、 b 是互為相反的向量，那么 a =- b ， b =- a ， a + b = 0. 0 的反向量為 0
AB - AC = CB. 即“共同起點，指向被減”
a =(x,y) b =(x',y') 則 a - b =(x-x',y-y').
3、數乘向量
實數λ和向量 a 的乘積是一個向量，記作λ a ，且∣λa∣=∣λ∣ · ∣a∣。
當λ＞0時，λ a 與 a 同方向；
當λ＜0時，λ a 與 a 反方向；
當λ=0時，λ a = 0 ，方向任意。
當 a = 0 時，對于任意實數λ，都有λ a = 0 。
注：按定義知，如果λ a = 0 ，那么λ=0或 a = 0 。
實數λ叫做向量 a 的系數，乘數向量λ a 的幾何意義就是將表示向量 a 的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；
當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(λ a ) ·b =λ( a · b) =( a ·λ b )。
向量對于數的分配律（第一分配律）：(λ+μ) a =λ a +μ a.
數對于向量的分配律（第二分配律）：λ( a + b )=λ a +λ b.
數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λ a= λ b ，那么 a=b 。② 如果 a ≠ 0 且λ a= μ a ，那么λ = μ。
點積(dot product)又稱數量積或內積
v0 . v1 = v0.x*v1.x+v0.y*v1.y+v0.z*v1.z;
所以向量的點積結果是一個數，而非向量。
點積等于向量v0的長度乘以v1的長度，再乘以它們之間夾角的余弦，即|v0|*|v1|*cos(θ).
通過點積，可以計算兩個向量之間的夾角。
cos(θ)=v0.v1/|v0||v1|;
θ=Math.acos(v0.v1/|v0||v1|);
如果兩個向量都是單位向量，上面的公式可以簡化為
θ=Math.acos(v0.v1);
V0.v1=0 =》兩個向量互相垂直
V0.v1>0 =》兩個向量的夾角小于90度
V0.v1<0 =》兩個向量的夾角大于90度
Irrlicht中的實現：（很簡單的公式，很直白的實現）
//! Get the dot product with another vector.
T dotProduct
(
const
vector3d
<
T
>&
other
)
const
{
return
X
*
other
.
X
+
Y
*
other
.
Y
+
Z
*
other
.
Z
;
}
DirectX中的實現：（很簡單的公式，也是很直白的實現）
D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3Dot
(
CONST D3DXVECTOR3
*
pV1
,
CONST D3DXVECTOR3
*
pV2
)
{
#ifdef
D3DX_DEBUG
if(!pV1 || !pV2)
return 0.0f;
#endif
return
pV1
->
x
*
pV2
->
x
+
pV1
->
y
*
pV2
->
y
+
pV1
->
z
*
pV2
->
z
;
}
叉積(cross product)：也稱向量積
叉積的結果是一個向量，該向量垂直于相乘的兩個向量。
公式：
注意：叉積不滿足交換律，反過來相乘得到的向量與原向量方向相反。
左手坐標系可以通過左手法則來確定叉積返回的向量的方向，從第一個向量向第二個向量彎曲左手，這是拇指所指的方向就是求得的向量的方向。右手坐標系同樣的，可以通過右手法則來確定叉積返回的向量的方向，從第一個向量向第二個向量彎曲右手，這是拇指所指的方向就是求得的向量的方向。因此，事實上叉積獲得的向量總是垂直于原來兩個向量所在的平面。
如果兩個向量方向相同或相反，叉積結果將是一個零向量。（即a//b)
叉乘的一個重要應用就是求三角形的法向量。
Irrlicht的實現：
//! Calculates the cross product with another vector.
/** /param p Vector to multiply with.
/return Crossproduct of this vector with p. */
vector3d
<
T
>
crossProduct
(
const
vector3d
<
T
>&
p
)
const
{
return
vector3d
<
T
>(
Y
*
p
.
Z
-
Z
*
p
.
Y
,
Z
*
p
.
X
-
X
*
p
.
Z
,
X
*
p
.
Y
-
Y
*
p
.
X
);
}
DirectX的實現：
D3DXINLINE D3DXVECTOR3
*
D3DXVec3Cross
(
D3DXVECTOR3
*
pOut
,
CONST D3DXVECTOR3
*
pV1
,
CONST D3DXVECTOR3
*
pV2
)
{
D3DXVECTOR3 v
;
#ifdef
D3DX_DEBUG
if(!pOut || !pV1 || !pV2)
return NULL;
#endif
v
.
x
=
pV1
->
y
*
pV2
->
z
-
pV1
->
z
*
pV2
->
y
;
v
.
y
=
pV1
->
z
*
pV2
->
x
-
pV1
->
x
*
pV2
->
z
;
v
.
z
=
pV1
->
x
*
pV2
->
y
-
pV1
->
y
*
pV2
->
x
;
*
pOut
=
v
;
return
pOut
;
}
基本上也就是按公式來了。
作為最后一個概念，這里用代碼實踐一下。
求a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的叉積。
freemat:
--> a = [2,2,1]
a =
2 2 1
--> b = [4,5,3]
b =
4 5 3
--> c = cross(a,b)
c =
1 -2 2
-->
|
Irrlicht:
#include
<stdio.h>
#include
<irrlicht.h>
using namespace
irr
::
core
;
int
_tmain
(
int
argc
,
_TCHAR
*
argv
[])
{
vector3df a
(2.0f, 2.0f, 1.0f);
vector3df b
(4.0f, 5.0f, 3.0f);
vector3df c
=
a
.
crossProduct
(
b
);
printf
(
"c = (%f, %f, %f)"
,
c
.
X
,
c
.
Y
,
c
.
Z
);
return
0;
}
輸出：
c = (1.000000, -2.000000, 2.000000)
DirectX:
#include
<stdio.h>
#include
<d3dx9.h>
int
_tmain
(
int
argc
,
_TCHAR
*
argv
[])
{
D3DXVECTOR3 a
(2.0f, 2.0f, 1.0f);
D3DXVECTOR3 b
(4.0f, 5.0f, 3.0f);
D3DXVECTOR3 c
;
D3DXVec3Cross
(&
c
, &
a
, &
b
);
printf
(
"c = (%f, %f, %f)"
,
c
.
x
,
c
.
y
,
c
.
z
);
return
0;
}
輸出：
c = (1.000000, -2.000000, 2.000000)
這里給出個較為完整的例子是希望大家了解一下Irrlicht這種C++風格的接口及DirectX的C風格接口使用上的不同，這里就不對兩種風格的接口提出更多評論了，以防引起口水戰。
下一篇預計講矩陣的計算
參考資料：
1.《DirectX 9.0 3D游戲開發編程基礎》 ，（美）Frank D.Luna著，段菲譯，清華大學出版社
2.《大學數學》湖南大學數學與計量經濟學院組編，高等教育出版社
3.百度百科及wikipedia
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