>>33>>>33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333L>>>3.2222223.222222上面顯示的是在交互模式下,如果輸入3,就顯示了3,這樣的數稱為整數,這個稱呼" />

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詳解Python編程中基本的數學計算使用

系統 1518 0


在 Python 中,對數的規定比較簡單,基本在小學數學水平即可理解。

那么,做為零基礎學習這,也就從計算小學數學題目開始吧。因為從這里開始,數學的基礎知識列位肯定過關了。

            
>>> 3
3
>>> 3333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333L
>>> 3.222222
3.222222

          

上面顯示的是在交互模式下,如果輸入 3,就顯示了 3,這樣的數稱為整數,這個稱呼和小學數學一樣。

如果輸入一個比較大的數,第二個,那么多個 3 組成的一個整數,在 Python 中稱之為長整數。為了表示某個數是長整數,Python 會在其末尾顯示一個L。其實,現在的 Python 已經能夠自動將輸入的很大的整數視為長整數了。你不必在這方面進行區別。

第三個,在數學里面稱為小數,這里你依然可以這么稱呼,不過就像很多編程語言一樣,習慣稱之為“浮點數”。至于這個名稱的由來,也是有點說道的,有興趣可以 google.

上述舉例中,可以說都是無符號(或者說是非負數),如果要表示負數,跟數學中的表示方法一樣,前面填上負號即可。

值得注意的是,我們這里說的都是十進制的數。

除了十進制,還有二進制、八進制、十六進制都是在編程中可能用到的,當然用六十進制的時候就比較少了(其實時間記錄方式就是典型的六十進制)。

具體每個數字,在 Python 中都是一個對象,比如前面輸入的 3,就是一個對象。每個對象,在內存中都有自己的一個地址,這個就是它的身份。

            
>>> id(3)
140574872
>>> id(3.222222)
140612356
>>> id(3.0)
140612356
>>>

          

用內建函數 id()可以查看每個對象的內存地址,即身份。

內建函數,英文為 built-in Function,讀者根據名字也能猜個八九不離十了。不錯,就是 Python 中已經定義好的內部函數。
以上三個不同的數字,是三個不同的對象,具有三個不同的內存地址。特別要注意,在數學上,3 和 3.0 是相等的,但是在這里,它們是不同的對象。

用 id()得到的內存地址,是只讀的,不能修改。

了解了“身份”,再來看“類型”,也有一個內建函數供使用type()。

            
>>> type(3)

            
              
>>> type(3.0)

              
                
>>> type(3.222222)

                
                
              
            
          

用內建函數能夠查看對象的類型。 ,說明 3 是整數類型(Interger); 則告訴我們那個對象是浮點型(Floating point real number)。與 id()的結果類似,type()得到的結果也是只讀的。

至于對象的值,在這里就是對象本身了。

看來對象也不難理解。請保持自信,繼續。

變量
僅僅寫出 3、4、5 是遠遠不夠的,在編程語言中,經常要用到“變量”和“數”(在 Python 中嚴格來講是對象)建立一個對應關系。例如:

            
>>> x = 5
>>> x
5
>>> x = 6
>>> x
6

          

在這個例子中,x = 5就是在變量(x)和數(5)之間建立了對應關系,接著又建立了 x 與 6 之間的對應關系。我們可以看到,x 先“是”5,后來“是”6。

在 Python 中,有這樣一句話是非常重要的:對象有類型,變量無類型。怎么理解呢?

首先,5、6 都是整數,Python 中為它們取了一個名字,叫做“整數”類型的數據,或者說數據類型是整數,用 int 表示。

當我們在 Python 中寫入了 5、6,computer 姑娘就自動在她的內存中某個地方給我們建立這兩個對象(對象的定義后面會講,這里你先用著,逐漸就明晰含義了),就好比建造了兩個雕塑,一個是形狀似 5,一個形狀似 6,這就兩個對象,這兩個對象的類型就是 int.

那個 x 呢?就好比是一個標簽,當x = 5時,就是將 x 這個標簽拴在了 5 上了,通過這個 x,就順延看到了 5,于是在交互模式中,>>> x輸出的結果就是 5,給人的感覺似乎是 x 就是 5,事實是 x 這個標簽貼在 5上面。同樣的道理,當x = 6時,標簽就換位置了,貼到 6 上面。

所以,這個標簽 x 沒有類型之說,它不僅可以貼在整數類型的對象上,還能貼在其它類型的對象上,比如后面會介紹到的 str(字符串)類型的對象等等。

這是 Python 區別于一些語言非常重要的地方。

四則運算
按照下面要求,在交互模式中運行,看看得到的結果和用小學數學知識運算之后得到的結果是否一致

            
>>> 2+5
7
>>> 5-2
3
>>> 10/2
5
>>> 5*2
10
>>> 10/5+1
3
>>> 2*3-4
2

          

上面的運算中,分別涉及到了四個運算符號:加(+)、減(-)、乘(*)、除(/)

另外,我相信看官已經發現了一個重要的公理:

在計算機中,四則運算和小學數學中學習過的四則運算規則是一樣的

要不說人是高等動物呢,自己發明的東西,一定要繼承自己已經掌握的知識,別跟自己的歷史過不去。偉大的科學家們,在當初設計計算機的時候就想到列位現在學習的需要了,一定不能讓后世子孫再學新的運算規則,就用小學數學里面的好了。感謝那些科學家先驅者,澤被后世。

下面計算三個算術題,看看結果是什么

            
4 + 2
4.0 + 2
4.0 + 2.0

          

看官可能憤怒了,這么簡單的題目,就不要勞駕計算機了,太浪費了。

別著急,還是要運算一下,然后看看結果,有沒有不一樣?要仔細觀察哦。

            
>>> 4+2
6
>>> 4.0+2
6.0
>>> 4.0+2.0
6.0

          

不一樣的地方是:第一個式子結果是 6,這是一個整數;后面兩個是 6.0,這是浮點數。

定義 1:類似 4、-2、129486655、-988654、0 這樣形式的數,稱之為整數
定義 2:類似 4.0、-2.0、2344.123、3.1415926 這樣形式的數,稱之為浮點數
對這兩個的定義,不用死記硬背,google 一下。記住愛因斯坦說的那句話:書上有的我都不記憶(是這么的說?好像是,大概意思,反正我也不記憶)。后半句他沒說,我補充一下:忘了就 google。

似乎計算機做一些四則運算是不在話下的,但是,有一個問題請你務必注意:在數學中,整數是可以無限大的,但是在計算機中,整數不能無限大。為什么呢?(我推薦你去 google,其實計算機的基本知識中肯定學習過了。)因此,就會有某種情況出現,就是參與運算的數或者運算結果超過了計算機中最大的數了,這種問題稱之為“整數溢出問題”。

整數溢出問題
這里有一篇專門討論這個問題的文章,推薦閱讀:整數溢出

對于其它語言,整數溢出是必須正視的,但是,在 Python 里面,看官就無憂愁了,原因就是 Python 為我們解決了這個問題,請閱讀下面的拙文:大整數相乘

ok!看官可以在 IDE 中實驗一下大整數相乘。

            
>>> 123456789870987654321122343445567678890098876*1233455667789990099876543332387665443345566
152278477193527562870044352587576277277562328362032444339019158937017801601677976183816L

          

看官是幸運的,Python 解憂愁,所以,選擇學習 Python 就是珍惜光陰了。

上面計算結果的數字最后有一個 L,就表示這個數是一個長整數,不過,看官不用管這點,反正是 Python 為我們搞定了。

在結束本節之前,有兩個符號需要看官牢記(不記住也沒關系,可以隨時 google,只不過記住后使用更方便)

整數,用 int 表示,來自單詞:integer
浮點數,用 float 表示,就是單詞:float
可以用一個命令:type(object)來檢測一個數是什么類型。

            
>>> type(4)

            
                #4 是 int,整數
>>> type(5.0)

              
                 #5.0 是 float,浮點數
type(988776544222112233445566778899887766554433221133344455566677788998776543222344556678)

                
                    # 是長整數,也是一個整數


                
              
            
          

除法
除法??嗦,不僅是 Python。

整數除以整數
進入 Python 交互模式之后(以后在本教程中,可能不再重復這類的敘述,只要看到>>>,就說明是在交互模式下),練習下面的運算:

            
>>> 2 / 5
0
>>> 2.0 / 5
0.4
>>> 2 / 5.0
0.4
>>> 2.0 / 5.0
0.4

          

看到沒有?麻煩出來了(這是在 Python2.x 中),按照數學運算,以上四個運算結果都應該是 0.4。但我們看到的后三個符合,第一個居然結果是 0。why?

因為,在 Python(嚴格說是 Python2.x 中,Python3 會有所變化)里面有一個規定,像 2/5 中的除法這樣,是要取整(就是去掉小數,但不是四舍五入)。2 除以 5,商是 0(整數),余數是 2(整數)。那么如果用這種形式:2/5,計算結果就是商那個整數。或者可以理解為:整數除以整數,結果是整數(商)。

比如:

            
>>> 5 / 2
2
>>> 7 / 2
3
>>> 8 / 2
4

          

注意:得到是商(整數),而不是得到含有小數位的結果再通過“四舍五入”取整。例如:5/2,得到的是商 2,余數 1,最終5 / 2 = 2。并不是對 2.5 進行四舍五入。

浮點數與整數相除
這個標題和上面的標題格式不一樣,上面的標題是“整數除以整數”,如果按照風格一貫制的要求,本節標題應該是“浮點數除以整數”,但沒有,現在是“浮點數與整數相除”,其含義是:

假設:x 除以 y。其中 x 可能是整數,也可能是浮點數;y 可能是整數,也可能是浮點數。
出結論之前,還是先做實驗:

            
>>> 9.0 / 2
4.5
>>> 9 / 2.0
4.5
>>> 9.0 / 2.0
4.5

>>> 8.0 / 2
4.0
>>> 8 / 2.0
4.0
>>> 8.0 / 2.0
4.0


          

歸納,得到規律:不管是被除數還是除數,只要有一個數是浮點數,結果就是浮點數。所以,如果相除的結果有余數,也不會像前面一樣了,而是要返回一個浮點數,這就跟在數學上學習的結果一樣了。

            
>>> 10.0 / 3
3.3333333333333335

          

這個是不是就有點搞怪了,按照數學知識,應該是 3.33333...,后面是 3 的循環了。那么你的計算機就停不下來了,滿屏都是 3。為了避免這個,Python 武斷終結了循環,但是,可悲的是沒有按照“四舍五入”的原則終止。當然,還會有更奇葩的出現:

            
>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
>>> 0.1 + 0.1 - 0.2
0.0
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.3
5.551115123125783e-17
>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 - 0.2
0.10000000000000003

          

越來越糊涂了,為什么 computer 姑娘在計算這么簡單的問題上,如此糊涂了呢?不是 computer 姑娘糊涂,她依然冰雪聰明。原因在于十進制和二進制的轉換上,computer 姑娘用的是二進制進行計算,上面的例子中,我們輸入的是十進制,她就要把十進制的數轉化為二進制,然后再計算。但是,在轉化中,浮點數轉化為二進制,就出問題了。

例如十進制的 0.1,轉化為二進制是:0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

也就是說,轉化為二進制后,不會精確等于十進制的 0.1。同時,計算機存儲的位數是有限制的,所以,就出現上述現象了。

這種問題不僅僅是 Python 中有,所有支持浮點數運算的編程語言都會遇到,它不是 Python 的 bug。

明白了問題原因,怎么解決呢?就 Python 的浮點數運算而言,大多數機器上每次計算誤差不超過 2**53 分之一。對于大多數任務這已經足夠了,但是要在心中記住這不是十進制算法,每個浮點數計算可能會帶來一個新的舍入錯誤。

一般情況下,只要簡單地將最終顯示的結果用“四舍五入”到所期望的十進制位數,就會得到期望的最終結果。

對于需要非常精確的情況,可以使用 decimal 模塊,它實現的十進制運算適合會計方面的應用和高精度要求的應用。另外 fractions 模塊支持另外一種形式的運算,它實現的運算基于有理數(因此像 1/3 這樣的數字可以精確地表示)。最高要求則可是使用由 SciPy 提供的 Numerical Python 包和其它用于數學和統計學的包。列出這些東西,僅僅是讓看官能明白,解決問題的方式很多,后面會用這些中的某些方式解決上述問題。

關于無限循環小數問題,我有一個鏈接推薦給諸位,它不是想象的那么簡單呀。請閱讀:維基百科的詞條:0.999...,會不會有深入體會呢?

補充一個資料,供有興趣的朋友閱讀:浮點數算法:爭議和限制
Python 總會要提供多種解決問題的方案的,這是她的風格。

引用模塊解決除法--啟用輪子
Python 之所以受人歡迎,一個很重重要的原因,就是輪子多。這是比喻啦。就好比你要跑的快,怎么辦?光天天練習跑步是不行滴,要用輪子。找輛自行車,就快了很多。還嫌不夠快,再換電瓶車,再換汽車,再換高鐵...反正你可以選擇的很多。但是,這些讓你跑的快的東西,多數不是你自己造的,是別人造好了,你來用。甚至兩條腿也是感謝父母恩賜。正是因為輪子多,可以選擇的多,就可以以各種不同速度享受了。

輪子是人類偉大的發明。

Python 就是這樣,有各種輪子,我們只需要用。只不過那些輪子在 Python 里面的名字不叫自行車、汽車,叫做“模塊”,有人承接別的語言的名稱,叫做“類庫”、“類”。不管叫什么名字吧。就是別人造好的東西我們拿過來使用。

怎么用?可以通過兩種形式用:

形式 1:import module-name。import 后面跟空格,然后是模塊名稱,例如:import os
形式 2:from module1 import module11。module1 是一個大模塊,里面還有子模塊 module11,只想用 module11,就這么寫了。
不??嗦了,實驗一個:

            
>>> from __future__ import division
>>> 5 / 2
2.5
>>> 9 / 2
4.5
>>> 9.0 / 2
4.5
>>> 9 / 2.0
4.5

          

注意了,引用了一個模塊之后,再做除法,就不管什么情況,都是得到浮點數的結果了。

這就是輪子的力量。

余數
前面計算 5/2 的時候,商是 2,余數是 1

余數怎么得到?在 Python 中(其實大多數語言也都是),用%符號來取得兩個數相除的余數.

實驗下面的操作:

            
>>> 5 % 2
1
>>> 6%4
2
>>> 5.0%2
1.0

          

符號:%,就是要得到兩個數(可以是整數,也可以是浮點數)相除的余數。

前面說 Python 有很多人見人愛的輪子(模塊),她還有豐富的內建函數,也會幫我們做不少事情。例如函數 divmod()

            
>>> divmod(5,2) # 表示 5 除以 2,返回了商和余數
(2, 1)
>>> divmod(9,2)
(4, 1)
>>> divmod(5.0,2)
(2.0, 1.0)

          

四舍五入
最后一個了,一定要堅持,今天的確有點??嗦了。要實現四舍五入,很簡單,就是內建函數:round()

動手試試:

            
>>> round(1.234567,2)
1.23
>>> round(1.234567,3)
1.235
>>> round(10.0/3,4)
3.3333

          


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