1. 最長公共子序列（LCS）
1.1 問題描述
1.2 思路
利用動態規劃。
下一步就要找到狀態之間的轉換方程。
因此可以根據這個方程來進行填表，以"helloworld"和“loop”為例：
1.3 Python代碼
def
LCS
(
string1
,
string2
)
:
len1
=
len
(
string1
)
len2
=
len
(
string2
)
res
=
[
[
0
for
i
in
range
(
len1
+
1
)
]
for
j
in
range
(
len2
+
1
)
]
for
i
in
range
(
1
,
len2
+
1
)
:
for
j
in
range
(
1
,
len1
+
1
)
:
if
string2
[
i
-
1
]
==
string1
[
j
-
1
]
:
res
[
i
]
[
j
]
=
res
[
i
-
1
]
[
j
-
1
]
+
1
else
:
res
[
i
]
[
j
]
=
max
(
res
[
i
-
1
]
[
j
]
,
res
[
i
]
[
j
-
1
]
)
return
res
,
res
[
-
1
]
[
-
1
]
print
(
LCS
(
"helloworld"
,
"loop"
)
)
# 輸出結果為：
[
[
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
]
,
[
0
,
0
,
0
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
]
,
[
0
,
0
,
0
,
1
,
1
,
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
2
]
,
[
0
,
0
,
0
,
1
,
1
,
2
,
2
,
3
,
3
,
3
,
3
]
,
[
0
,
0
,
0
,
1
,
1
,
2
,
2
,
3
,
3
,
3
,
3
]
]
,
3
所以"helloworld"和"loop"的最長公共子序列的長度為3。
1.4 找到具體的子序列
下面的內容借鑒了博主Running07的博客動態規劃 最長公共子序列 過程圖解
如果有兩個字符串如下：
S1 = “123456778”
S2 = “357486782”
其最終的動態規劃填表結果為：
其中S1和S2的LCS并不是只有1個。
我們根據遞歸公式：
構建了上表，
通過遞推公式，可以看出，res[i][j]的值來源于res[i-1][j]或者是res[i-1][j]和res[i][j-1]的較大值（
可能相等
）。
我們將從最后一個元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。
res[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，res[8][9]的值來源于c[8][8]的值(因為res[8][8] > res[7][9])。
res[8][8] = 5, 且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，res[8][8]的值來源于 res[7][7]。
以此類推，如果遇到S1[i] != S2[j] ，且res[i-1][j] = res[i][j-1] 這種存在分支的情況，這里都選擇一個方向（之后遇到這樣的情況，也選擇相同的方向，要么都往左，要么都往上）。
可得S1和S2的LCS為{3、5、7、7、8}
這是遇見相等的時候，統一往左走
S1和S2之間還有一個LCS
這是遇見相等的時候，統一往上走
：
可得S1和S2的LCS為{3、4、6、7、8}
2. 最長公共子串
2.1 問題描述
2.2 思路
和最長公共子序列一樣，使用動態規劃的算法。
下一步就要找到狀態之間的轉換方程。
和LCS問題唯一不同的地方在于當A[i] != B[j]時，res[i][j]就直接等于0了，因為子串必須連續，
且res[i][j] 表示的是以A[i]，B[j]截尾的公共子串的長度
。因此可以根據這個方程來進行填表，以"helloworld"和“loop”為例：
這個和LCS問題還有一點不同的就是，需要設置一個res，每一步都更新得到最長公共子串的長度。
2.3 Python代碼
def
LCstring
(
string1
,
string2
)
:
len1
=
len
(
string1
)
len2
=
len
(
string2
)
res
=
[
[
0
for
i
in
range
(
len1
+
1
)
]
for
j
in
range
(
len2
+
1
)
]
result
=
0
for
i
in
range
(
1
,
len2
+
1
)
:
for
j
in
range
(
1
,
len1
+
1
)
:
if
string2
[
i
-
1
]
==
string1
[
j
-
1
]
:
res
[
i
]
[
j
]
=
res
[
i
-
1
]
[
j
-
1
]
+
1
result
=
max
(
result
,
res
[
i
]
[
j
]
)
return
result
print
(
LCstring
(
"helloworld"
,
"loop"
)
)
# 輸出結果為：2
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