一維插值
插值不同于擬合。插值函數(shù)經(jīng)過樣本點，擬合函數(shù)一般基于最小二乘法盡量靠近所有樣本點穿過。常見插值方法有 拉格朗日插值法、分段插值法、樣條插值法 。
- 拉格朗日插值多項式：當(dāng)節(jié)點數(shù)n較大時，拉格朗日插值多項式的次數(shù)較高，可能出現(xiàn)不一致的收斂情況，而且計算復(fù)雜。隨著樣點增加，高次插值會帶來誤差的震動現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)象。
- 分段插值：雖然收斂，但光滑性較差。
- 樣條插值:樣條插值是使用一種名為樣條的特殊分段多項式進(jìn)行插值的形式。由于樣條插值可以使用低階多項式樣條實現(xiàn)較小的插值誤差，這樣就避免了使用高階多項式所出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象，所以樣條插值得到了流行。
# -*-coding:utf-8 -*-
import numpy as np
from scipy import interpolate
import pylab as pl
x=np.linspace(0,10,11)
#x=[ 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.]
y=np.sin(x)
xnew=np.linspace(0,10,101)
pl.plot(x,y,"ro")
for kind in ["nearest","zero","slinear","quadratic","cubic"]:#插值方式
#"nearest","zero"為階梯插值
#slinear 線性插值
#"quadratic","cubic" 為2階、3階B樣條曲線插值
f=interpolate.interp1d(x,y,kind=kind)
# ‘slinear', ‘quadratic' and ‘cubic' refer to a spline interpolation of first, second or third order)
ynew=f(xnew)
pl.plot(xnew,ynew,label=str(kind))
pl.legend(loc="lower right")
pl.show()
結(jié)果：
二維插值
方法與一維數(shù)據(jù)插值類似，為二維樣條插值。
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
演示二維插值。
"""
import numpy as np
from scipy import interpolate
import pylab as pl
import matplotlib as mpl
def func(x, y):
return (x+y)*np.exp(-5.0*(x**2 + y**2))
# X-Y軸分為15*15的網(wǎng)格
y,x= np.mgrid[-1:1:15j, -1:1:15j]
fvals = func(x,y) # 計算每個網(wǎng)格點上的函數(shù)值 15*15的值
print len(fvals[0])
#三次樣條二維插值
newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic')
# 計算100*100的網(wǎng)格上的插值
xnew = np.linspace(-1,1,100)#x
ynew = np.linspace(-1,1,100)#y
fnew = newfunc(xnew, ynew)#僅僅是y值 100*100的值
# 繪圖
# 為了更明顯地比較插值前后的區(qū)別，使用關(guān)鍵字參數(shù)interpolation='nearest'
# 關(guān)閉imshow()內(nèi)置的插值運(yùn)算。
pl.subplot(121)
im1=pl.imshow(fvals, extent=[-1,1,-1,1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower")#pl.cm.jet
#extent=[-1,1,-1,1]為x,y范圍 favals為
pl.colorbar(im1)
pl.subplot(122)
im2=pl.imshow(fnew, extent=[-1,1,-1,1], cmap=mpl.cm.hot, interpolation='nearest', origin="lower")
pl.colorbar(im2)
pl.show()
?
左圖為原始數(shù)據(jù)，右圖為二維插值結(jié)果圖。
二維插值的三維展示方法
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
演示二維插值。
"""
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib as mpl
from scipy import interpolate
import matplotlib.cm as cm
import matplotlib.pyplot as plt
def func(x, y):
return (x+y)*np.exp(-5.0*(x**2 + y**2))
# X-Y軸分為20*20的網(wǎng)格
x = np.linspace(-1, 1, 20)
y = np.linspace(-1,1,20)
x, y = np.meshgrid(x, y)#20*20的網(wǎng)格數(shù)據(jù)
fvals = func(x,y) # 計算每個網(wǎng)格點上的函數(shù)值 15*15的值
fig = plt.figure(figsize=(9, 6))
#Draw sub-graph1
ax=plt.subplot(1, 2, 1,projection = '3d')
surf = ax.plot_surface(x, y, fvals, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm,linewidth=0.5, antialiased=True)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('f(x, y)')
plt.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)#標(biāo)注
#二維插值
newfunc = interpolate.interp2d(x, y, fvals, kind='cubic')#newfunc為一個函數(shù)
# 計算100*100的網(wǎng)格上的插值
xnew = np.linspace(-1,1,100)#x
ynew = np.linspace(-1,1,100)#y
fnew = newfunc(xnew, ynew)#僅僅是y值 100*100的值 np.shape(fnew) is 100*100
xnew, ynew = np.meshgrid(xnew, ynew)
ax2=plt.subplot(1, 2, 2,projection = '3d')
surf2 = ax2.plot_surface(xnew, ynew, fnew, rstride=2, cstride=2, cmap=cm.coolwarm,linewidth=0.5, antialiased=True)
ax2.set_xlabel('xnew')
ax2.set_ylabel('ynew')
ax2.set_zlabel('fnew(x, y)')
plt.colorbar(surf2, shrink=0.5, aspect=5)#標(biāo)注
plt.show()
左圖的二維數(shù)據(jù)集的函數(shù)值由于樣本較少，會顯得粗糙。而右圖對二維樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行三次樣條插值，擬合得到更多數(shù)據(jù)點的樣本值，繪圖后圖像明顯光滑多了。
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