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使用python實現離散時間傅里葉變換的方法

系統 2121 0

我們經常使用傅里葉變換來計算數字信號的頻譜,進而分析數字信號,離散時間傅里葉變換的公式為:

可是自己動手實現一遍才是最好的學習。

在數字分析里面,傅里葉變換默認等時間間隔采樣,不需要時間序列,只需要信號數組即可分析。

分析過程如下:

  • 對于含有 n 個樣本值的數字信號序列,根據奈奎斯特采樣定律,包含的周期數最大為 n/2,周期數為 0 代表直流分量。所以,當周期數表示為離散的 0,1,2,3…n/2 ,總的數目為 n/2+1
  • 傅里葉變換之后的結果為復數, 下標為 k 的復數 a+b*j 表示時域信號中周期為 N/k 個取樣值的正弦波和余弦波的成分的多少, 其中 a 表示 cos 波形的成分, b 表示 sin 波形的成分
  • 首先產生一個長度為 n,一倍周期的 $e^{-jwn} $ (即為 $cos(wn)-jsin(wn) $ )波樣本序列.
  • 將數字信號序列中的每一個樣本與 1 倍周期的樣本波形序列相乘,得到 n 個乘積,將 n 個乘積相加,放入 f[1] 中。
  • 再產生一個長度為 n,兩倍周期的 $e^{-jwn} $ (即為 $cos(wn)-jsin(wn) $ )波樣本序列,再將數字信號序列中的每一個樣本與 2 倍周期的樣本波形序列相乘,得到 n 個乘積,將 n 個乘積相加,放入 f[2] 中。依次重復。
  • 對于 0 倍周期,即直流分量來說,可以認為產生的是 0 倍周期的樣本波形,重復操作,放入 f[0] 即可。
  • 這樣就得到了數字信號序列的傅里葉變換

使用方法:

從以上過程得到數字序列的傅里葉變換之后,如果想要得到真正頻譜,還需要做處理:

  • 計算出的每一個頻率下的幅值需要除以時間序列的長度,類似求平均的過程
  • 每一個頻率下的幅值是一個復數,需要對它求模,而且因為在負頻率處也有值,所以需要對于實信號需要乘 2
  • 頻率的序列為 0 到采樣率的一半,長度為 n/2+1

完整程序:

            
# 離散時間傅里葉變換的 python 實現
import numpy as np
import math
import pylab as pl
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt

sampling_rate=1000
t1=np.arange(0, 10.0, 1.0/sampling_rate)
x1 =np.sin(15*np.pi*t1)

# 傅里葉變換
def fft1(xx):
#   t=np.arange(0, s)
  t=np.linspace(0, 1.0, len(xx))
  f = np.arange(len(xx)/2+1, dtype=complex)
  for index in range(len(f)):
    f[index]=complex(np.sum(np.cos(2*np.pi*index*t)*xx), -np.sum(np.sin(2*np.pi*index*t)*xx))
  return f

# len(x1)
          
            
xf=fft1(x1)/len(x1)
freqs = np.linspace(0, sampling_rate/2, len(x1)/2+1)
plt.figure(figsize=(16,4))
plt.plot(freqs,2*np.abs(xf),'r--')

plt.xlabel("Frequency(Hz)")
plt.ylabel("Amplitude($m$)")
plt.title("Amplitude-Frequency curve")

plt.show()
          

使用python實現離散時間傅里葉變換的方法_第1張圖片

            
plt.figure(figsize=(16,4))
plt.plot(freqs,2*np.abs(xf),'r--')

plt.xlabel("Frequency(Hz)")
plt.ylabel("Amplitude($m$)")
plt.title("Amplitude-Frequency curve")
plt.xlim(0,20)
plt.show()
          

使用python實現離散時間傅里葉變換的方法_第2張圖片

此處實現的是傳統的傅里葉變換,這種方法實際已經不用了,現在使用快速傅里葉變換,其實兩種是等價的,但是快速傅里葉變換時間復雜度要小很多。

以上就是本文的全部內容,希望對大家的學習有所幫助,也希望大家多多支持腳本之家。


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