介紹原理

karatsuba 算法要求乘數與被乘數要滿足以下幾個條件，第一，乘數與被乘數的位數相同； 第二，乘數與被乘數的位數應為 ?2 次冪，即為 2 ^ 2, ?2 ^ 3, 2 ^ 4， 2 ^ n 等數值。

下面我們先來看幾個簡單的例子，并以此來了解 karatsuba 算法的使用方法。

兩位數相乘

我們設被乘數 A = 85，乘數 B = 41。 下面來看我們的操作步驟：

將 A, B 一分為二，令 p = A 的前半部分 = 8，q = A 的后半部分 = 5 ， r = B 的前半部分 = 4 ，s = B 的后半部分 = ?1，n = 2。 通過簡單的數學運算：

A * B = pq * rs? = (p * 10 + q) * (r * 10 + s) ?=? p * r * 10 ^ 2 + (p * s + q * r ) * 10 + q * s。

令 u = p * r，v = （p - q) * (s - r)，w = q * s。所以 A * B = ?u * 10 ^ 2 + (u + v + w) * 10 + w。

換成數值求解的過程如下：

A * B = 85 * 41 = (8 * 10 + 5) * ( 4 * 10 + 1) = 8 * 4 * 10 * 10 + (8 * 1 + 5 * 4) * 10 + 5 * 1。

其中 u = 8 * 4 = 32，v = (8 - 5) (1 - 4) = -9，w = 5 * 1 = 5。

所以，A * B = 32 * 100 + (32 - 9 + 5) * 10 + 5 = 3485。 與長乘法所得結果一致。

四位數相乘

我們設被乘數 A = 8537，乘數 B = 4123。 下面來看我們的操作步驟：

將 A, B 一分為二，令 p = A 的前半部分 = 85，q = A 的后半部分 = 37 ， r = B 的前半部分 = 41 ，s = B 的后半部分 = ?23，n = 4。

==> 其中，u = 85 * 41, v = (85 - 37) * (23 - 41), w = 37 * 23。

==> A * B = 8537 * 4123 = u * 10 ^ 4 + (u + v + w) * 10 ^ 2 + w = ?3485_0000 +34_7200 + 851 = 35198051。

在我們計算 u， v, ?w 的過程中又會涉及兩位數的乘法，我們繼續使用 Karatsuba 算法得出兩位數相乘的結果。

N 位數相乘

我們令 n 為 乘數與被乘數的位數，令 p = A 的前半部分，q = A 的后半部分， r = B 的前半部分 ，s = B 的后半部分。

==> 其中， u = p * r，v = (p - q) * (s - r)，w = q * s。

所以 A * B = ?u * 10 ^ n + (u + v + w) * 10 ^ (n / 2) + w。

而 u, v, w 則是兩個 n / 2 位的乘法運算。 我們繼續調用 Karatsuba 算法計算 u, v, w 的數值。 接著，我們在計算 n / 2 乘法的過程中又會遇到 n / 4 位的乘法運算……以此類推，直到我們遇到兩個個位數的乘法，我們就直接返回這兩個個位數乘法的結果。 層層返回，最終得到 N 位數的乘法結果。

時間復雜度

我們平常使用的長乘法，是 O (n ^ 2) 的時間復雜度。 比如兩個 N 位數相乘，我們需要將每一位按規則相乘，所以需要計算 ?N * N 次乘法。 而使用 ?Karatsuba 算法每層需要計算三次乘法，兩次加法，以及若干次加法，每使用一次 karatsuba 算法，乘法規模就下降一半。

所以，對于兩個 n = ?2 ^ K 位數乘法運算，我們需要計算 3 ^ k 次乘法運算。 而 K = log n(底數為 2)， 3 ^ K = 3 ^ log n = 2 ?^ (log 3 * log n) = 2 ^ (log n * log 3) = n ^ log 3 （底數為 2）。

代碼實現

                
                  from?math?import?log2,?ceil

def?pad(string:?str,?real_len:?int,?max_len:?int)?->?str:
????pad_len:?int?=?max_len?-?real_len
????return?f"{'0'?*?pad_len}{string}"


def?kara(n1:?int,?n2:?int)?->?int:
????if?n1?<?10?or?n2?<?10:
????????return?n1?*?n2
????n1_str:?str?=?str(n1)
????n2_str:?str?=?str(n2)
????n1_len:?int?=?len(n1_str)
????n2_len:?int?=?len(n2_str)
????real_len:?int?=?max(n1_len,?n2_len)
????max_len:?int?=?2?**?ceil(log2(real_len))
????mid_len:?int?=?max_len?>>?1
????n1_pad:?str?=?pad(n1_str,?n1_len,?max_len)
????n2_pad:?str?=?pad(n2_str,?n2_len,?max_len)
????p:?int?=?int(n1_pad[:mid_len])
????q:?int?=?int(n1_pad[mid_len:])
????r:?int?=?int(n2_pad[:mid_len])
????s:?int?=?int(n2_pad[mid_len:])
????u:?int?=?kara(p,?r)
????v:?int?=?kara(q-p,?r-s)
????w:?int?=?kara(q,?s)
????return?u?*?10?**?max_len?+?(u+v+w)?*?10?**?mid_len?+?w

                
              

輸出結果：

==> kara(123456, 9734) == 123456 * 9734

==> kara(1234233456756, 32459734) == 1234233456756 * 32459734