(間斷點、左右極限)? 當 |x| < 1 時,
?;當 |x| > 1 時, 。(函數有界性判定) 設f(x)在開區間(a,b)內連續,若及存在,則f(x)在(a,b)內有界。
例題 討論函數在上的有界性。
由及可知f(x) = f(-x),所以f(x)是偶函數。只需證明f(x)在上有界。又?于是,對于( 可以為任意正數但必須確定下來 ),存在A>0,當x>A時,有。
即當x>A時,有0<f(x)<1。
因為f(x)在[0,A]上連續,因此f(x)在 [0,A]有界,注意到在 上。故,存在M 1 >0,使得任意有。取M = max{1,M 1 }則對任意有。從而可知:對任意有。
注意:
1、要判斷函數的有界性先考慮在間斷點、無窮遠點的極限(涉及左右極限);
2、不用求導數、單調性之類,這兩步已經證明了有界性。
(周期函數)? 設f(x)是以T為周期的連續函數則:
1、f(x)的原函數是以T為周期的充要條件是;
2、任意,;
3、。
(求極限) ? ??
解:原式 =??=??=?
注意:這里運用了等價無窮小 x-1 ~ ln(x-1+1) 其實是 x ~ ln(x+1) 的變體
用到的無窮?。?、當??,得到??;2、arctanx ~ x;3、1-cosx ~ ;4、。
(函數的導數)(不一定用得著) ?若 ?存在,且 ?則?
(兩個重要的極限)? ;
(單側極限)? 若在求極限時,涉及 、、、絕對值,要考慮單側極限。
(和差中的等價無窮小替換)? 若當 ?o(代表一個值)?時,~、~,則只有當 ?時,才能用 ?,這是因為將 ?用 ?替代后產生的誤差大小只能用泰勒公式才能說清楚。
(求極限)?
解:令??,原式 =??=??=??=??=?
注意:在用常見方法(四則運算、重要極限、等價無窮小替換)不能求解極限時,變量替換是行之有效的方法(尤其是倒代換)(觀察趨近的數一般由無窮大變到0)
(積分求導)?
1、? ? ?;
2、。
(數學歸納法證明極限存在) 設 、,證明 ?存在,并求值。
解: ,設 ,則 。由數學歸納法得知數列 ?有下界,又 ,因而 ?單調遞減,由單調有界原理 存在且為3。
注意:此題也可由 ?為下界,再證? 即可得到 。
(求極限數列)(判別級數)?
解:考慮級數 ,用比值判別法,所以 收斂,所以
注意:利用級數收斂的必要條件,可求一些級數為0的數列極限。
(無窮小)? 當 時, g(x) 是 (x-a) 的n階無窮小,當 時,f(u)是 u 的m階無窮小,則 f[g(x)] 是 (x-a) 的nm階無窮小。
(求極限)?
解:?=??=?? ?(拉格朗日中值定理,)
所以?=?
注意:求形如 I =??的極限,可用拉格朗日中值定理,轉化為??的式子
(積分公式)
1、;
2、;
3、;
4、;( 這個比較重要 )
5、。
(微分方程導數定義) 設g(x)是微分方程g'(x) + g(x)sinx = cosx 滿足g(0) = 0,求
解:由題,又g'(0) = cos0-g(0)sin0 = 1
本題也可先解微粉方程在求極限。
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