(間斷點、左右極限)? 當 |x| < 1 時， \lim_{n\to\infty}x^n=0 ?;當 |x| > 1 時， \lim_{n\to\infty}x^n=\infty 。

(函數有界性判定) 設f(x)在開區間(a,b)內連續，若及存在，則f(x)在(a,b)內有界。

例題 討論函數在上的有界性。

由及可知f(x) = f(-x)，所以f(x)是偶函數。只需證明f(x)在上有界。又?于是，對于（ 可以為任意正數但必須確定下來 ），存在A>0，當x>A時，有。

即當x>A時，有0<f(x)<1。

因為f(x)在[0,A]上連續，因此f(x)在 [0,A]有界，注意到在 上。故，存在M ₁ >0，使得任意有。取M = max{1,M ₁ }則對任意有。從而可知：對任意有。

注意：

1、要判斷函數的有界性先考慮在間斷點、無窮遠點的極限（涉及左右極限）；

2、不用求導數、單調性之類，這兩步已經證明了有界性。

(周期函數)? 設f(x)是以T為周期的連續函數則：

1、f(x)的原函數是以T為周期的充要條件是；

2、任意，；

3、。

(求極限) ? ??

解：原式 =??=??=?

注意：這里運用了等價無窮小 x-1 ~ ln(x-1+1) 其實是 x ~ ln(x+1) 的變體

用到的無窮?。?、當??，得到??；2、arctanx ~ x；3、1-cosx ~ ；4、。

(函數的導數)(不一定用得著) ?若 ?存在，且 ?則?

(兩個重要的極限)? ；

(單側極限)? 若在求極限時，涉及 、、、絕對值，要考慮單側極限。

(和差中的等價無窮小替換)? 若當 ?o（代表一個值）?時，~、~，則只有當 ?時，才能用 ?，這是因為將 ?用 ?替代后產生的誤差大小只能用泰勒公式才能說清楚。

(求極限)?

解：令??，原式 =??=??=??=??=?

注意：在用常見方法（四則運算、重要極限、等價無窮小替換）不能求解極限時，變量替換是行之有效的方法（尤其是倒代換）（觀察趨近的數一般由無窮大變到0）

(積分求導)?

1、? ? ?；

2、。

(數學歸納法證明極限存在) 設 、，證明 ?存在，并求值。

解： ，設 ，則 。由數學歸納法得知數列 ?有下界，又 ，因而 ?單調遞減，由單調有界原理 存在且為3。

注意：此題也可由 ?為下界，再證? 即可得到 。

(求極限數列)(判別級數)?

解：考慮級數 ，用比值判別法，所以 收斂，所以

注意：利用級數收斂的必要條件，可求一些級數為0的數列極限。

(無窮小)? 當 時， g(x) 是 (x-a) 的n階無窮小，當 時，f(u)是 u 的m階無窮小，則 f[g(x)] 是 (x-a) 的nm階無窮小。

(求極限)?

解：?=??=?? ?(拉格朗日中值定理，)

所以?=?

注意：求形如 I =??的極限，可用拉格朗日中值定理，轉化為??的式子

(積分公式)

1、；

2、；

3、；

4、；（ 這個比較重要 ）

5、。

(微分方程導數定義) 設g(x)是微分方程g'(x) + g(x)sinx = cosx 滿足g(0) = 0，求

解：由題，又g'(0) = cos0-g(0)sin0 = 1

本題也可先解微粉方程在求極限。

1 - 函數、極限、連續（1）