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大致題意:
一根兩端固定在兩面墻上的桿 受熱彎曲后變彎曲
求前后兩個狀態的桿的中點位置的距離
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解題思路:
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如圖,藍色為桿彎曲前,長度為 L
紅色為桿彎曲后,長度為 s
h 是所求
依題意知
S=(1+n*C)*L
又從圖中得到三條關系式 ;
(1)
??????
角度→弧度公式
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θr = 1/2*s
(2)
??????
三角函數公式
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sinθ= 1/2*L/r
(3)
??????
勾股定理
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r^2 – ( r – h)^2 = (1/2*L)^2
把四條關系式化簡可以得到
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逆向思維解二元方程組:
要求( 1 )式的 h ,唯有先求 r
但是由于( 2 )式是三角函數式,直接求 r 比較困難
因此要用順向思維解方程組:
在 h 的值的范圍內枚舉 h 的值,計算出對應的 r ,判斷這個 r 得到的 (2) 式的右邊 ? 與 左邊的值S 的大小關系 ? ( S= (1+n*C)*L )
很顯然的二分查找了。。。。。
那么問題只剩下 h 的范圍是多少了
下界自然是 0 ( 不彎曲 )
關鍵確定上界
題中提及到
Input data guarantee that no rod expands by more than one half of its original length.
意即 輸入的數據要保證沒有一條桿能夠延伸超過其初始長度的一半
就是說 S max = 3/2 L
理論上把上式代入( 1 ) (2) 方程組就能求到 h 的最小上界,但是實際操作很困難
因此這里可以做一個范圍擴展,把 h 的上界擴展到 1/2L ? ,不難證明這個值必定大于 h 的最小上界,那么 h 的范圍就為 ? 0<=h<1/2L
這樣每次利用下界 low 和上界 high 就能得到中間值 mid ,尋找最優的 mid 使得 (2) 式左右兩邊差值在精度范圍之內,那么這個 mid 就是 h
精度問題是必須注意的
由于數據都是 double ,當 low 無限接近 high 時, 若二分查找的條件為 while(low<high) ,會很容易陷入死循環,或者在得到要求的精度前就輸出了不理想的“最優 mid ”
精度的處理方法參考我的程序
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1 // Memory Time
2 // 244K 0MS
3
4 #include < iostream >
5 #include < math.h >
6 #include < iomanip >
7 using namespace std;
8
9 const double esp = 1e - 5 ; // 最低精度限制
10
11 int main( void )
12 {
13 double L,n,c,s; // L:桿長 ,n:溫度改變度 , c:熱力系數 ,s:延展后的桿長(弧長)
14 double h; // 延展后的桿中心 到 延展前桿中心的距離
15 double r; // s所在圓的半徑
16
17 while (cin >> L >> n >> c)
18 {
19 if (L < 0 && n < 0 && c < 0 )
20 break ;
21
22 double low = 0.0 ; // 下界
23 double high = 0.5 * L; // 0 <= h < 1/2L (1/2L并不是h的最小上界,這里做一個范圍擴展是為了方便處理數據)
24
25 double mid;
26 s = ( 1 + n * c) * L;
27 while (high - low > esp) // 由于都是double,不能用low<high,否則會陷入死循環
28 { // 必須限制low與high的精度差
29 mid = (low + high) / 2 ;
30 r = ( 4 * mid * mid + L * L) / ( 8 * mid);
31
32 if ( 2 * r * asin(L / ( 2 * r)) < s ) // h偏小
33 low = mid;
34 else // h偏大
35 high = mid;
36 }
37 h = mid;
38
39 cout << fixed << setprecision( 3 ) << h << endl;
40 }
41 return 0 ;
42 }
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