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TYVJ 1215 斜率優化DP

系統 1862 0

題目連接: http://new.tyvj.cn/Problem_Show.aspx?id=1215

思路:

方程再簡單不過了:

dp[i]表示以第i個人為某一組最后一個人的總戰斗值

dp[i]=max(dp[j]+F(sum[i]-sum[j]))

其中F(x)=A*x*x+B*x+C ? ? ? sum[i]表示戰斗值的前綴和

顯然n^2的方程,只能得到20分

?

單調性顯然,那么就開始我們的斜率優化

設j<k且滿足k比j更優

dp[j]+A*(sum[i]-sum[j])^2+B*(sum[i]-sum[j])+C<=dp[k]+A*(sum[i]-sum[k])^2+B*(sum[i]-sum[k])+C

化簡,分離變量,將含j,k的結構放到方程一邊,含i的結構放在方程另一邊:

2*A*sum[i]*(sum[k]-sum[j])<=dp[k]-dp[j]+B*(sum[j]-sum[k])+A*(sum[k]^2-sum[j]^2)

設:

p[i]=2*A*sum[i]

G(k,j)=dp[k]-dp[j]+B*(sum[j]-sum[k])+A*(sum[k]^2-sum[j]^2)

S(k,j)=sum[k]-sum[j]

W(k,j)=G(k,j)/S(k,j)

所以只要維護 ? : ? W(k,j)>=p[i] ? 就可以了~

(PS:如果沒有看懂斜率優化,請轉步: http://www.cnblogs.com/proverbs/archive/2012/10/06/2713109.html

?

?

View Code
        
           1
        
         #include <cstdio>


        
           2
        
         #include <cstring>


        
           3
        
         #include <cstdlib>


        
           4
        
         #include <iostream>


        
           5
        
        
           6
        
        
          #define
        
         N 1001000


        
           7
        
        
           8
        
        
          using
        
        
          namespace
        
        
           std;


        
        
           9
        
        
          10
        
        
          __int64 A,B,C,a[N],sum[N],dp[N],p[N];


        
        
          11
        
        
          int
        
        
           n,q[N];


        
        
          12
        
        
          13
        
        
          void
        
        
           read()


        
        
          14
        
        
          {


        
        
          15
        
             scanf(
        
          "
        
        
          %d
        
        
          "
        
        ,&
        
          n);


        
        
          16
        
             scanf(
        
          "
        
        
          %I64d%I64d%I64d
        
        
          "
        
        ,&A,&B,&
        
          C);


        
        
          17
        
        
          for
        
        (
        
          int
        
         i=
        
          1
        
        ;i<=n;i++
        
          )


        
        
          18
        
        
              {


        
        
          19
        
                 scanf(
        
          "
        
        
          %I64d
        
        
          "
        
        ,&
        
          a[i]);


        
        
          20
        
                 sum[i]=sum[i-
        
          1
        
        ]+
        
          a[i];


        
        
          21
        
                 p[i]=
        
          2
        
        *A*
        
          sum[i];


        
        
          22
        
        
              }


        
        
          23
        
        
          }


        
        
          24
        
        
          25
        
         inline __int64 G(
        
          int
        
         y,
        
          int
        
        
           x)


        
        
          26
        
        
          {


        
        
          27
        
        
          return
        
         dp[y]-dp[x]+B*(sum[x]-sum[y])+A*(sum[y]*sum[y]-sum[x]*
        
          sum[x]);


        
        
          28
        
        
          }


        
        
          29
        
        
          30
        
         inline __int64 S(
        
          int
        
         y,
        
          int
        
        
           x)


        
        
          31
        
        
          {


        
        
          32
        
        
          return
        
         sum[y]-
        
          sum[x];


        
        
          33
        
        
          }


        
        
          34
        
        
          35
        
         inline __int64 F(
        
          int
        
        
           x)


        
        
          36
        
        
          {


        
        
          37
        
        
          return
        
         A*x*x+B*x+
        
          C;


        
        
          38
        
        
          }


        
        
          39
        
        
          40
        
        
          void
        
        
           go()


        
        
          41
        
        
          {


        
        
          42
        
             dp[
        
          0
        
        ]=
        
          0
        
        
          ;


        
        
          43
        
        
          int
        
         h=
        
          1
        
        ,t=
        
          1
        
        
          ;


        
        
          44
        
             q[t++]=
        
          0
        
        
          ;


        
        
          45
        
        
          for
        
        (
        
          int
        
         i=
        
          1
        
        ,x,y,z;i<=n;i++
        
          )


        
        
          46
        
        
              {


        
        
          47
        
        
          while
        
        (h<t-
        
          1
        
        &&G(q[h+
        
          1
        
        ],q[h])>=p[i]*S(q[h+
        
          1
        
        ],q[h])) h++
        
          ;


        
        
          48
        
        
          49
        
                 dp[i]=dp[q[h]]+F(sum[i]-
        
          sum[q[h]]);


        
        
          50
        
        
          51
        
                 q[t++]=
        
          i;


        
        
          52
        
        
          53
        
        
          for
        
        (
        
          int
        
         j=t-
        
          2
        
        ;j-
        
          1
        
        >=h;j--
        
          )


        
        
          54
        
        
                  {


        
        
          55
        
                     x=q[j-
        
          1
        
        ]; y=q[j]; z=q[j+
        
          1
        
        
          ];


        
        
          56
        
        
          if
        
        (G(z,y)*S(y,x)>=G(y,x)*S(z,y)) q[j]=q[--
        
          t];


        
        
          57
        
        
          else
        
        
          break
        
        
          ;


        
        
          58
        
        
                  }


        
        
          59
        
        
              }


        
        
          60
        
             printf(
        
          "
        
        
          %I64d\n
        
        
          "
        
        
          ,dp[n]);


        
        
          61
        
        
          }


        
        
          62
        
        
          63
        
        
          int
        
        
           main()


        
        
          64
        
        
          {


        
        
          65
        
        
              read();


        
        
          66
        
        
              go();


        
        
          67
        
        
          return
        
        
          0
        
        
          ;


        
        
          68
        
         }
      

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