pinv指令
???? 在多數解的例子中，有時并不是僅要將其中一變數設定為零之解。為使整個系統得到最佳化，亦可利用pinv指令求得最小模組之合理解。pinv(A)又稱為虛反矩陣(pseudoinverse)，其功能與反矩陣之計算相同，但它會基于svd(A)函數(或稱奇異值分解函數)之計算方式，求得一個不是屬于全階之矩陣A之反矩陣。這是長方形矩陣求解時，在多重解中求其反矩陣之折衷方式。故若矩陣A為方矩陣或非零矩陣，則其結果應與inv(A)相同。只是在這樣的狀況，寧可使用inv(A)較為省事。處理這些長方矩陣或特異矩陣時，使用pinv(A)會有意想不到的效果。其解法是根據反矩陣法：

A=[3 2 1; 10 -25 5];

C=[5000 2000]';

>> T=inv(A)*C

Error using inv

inv Matrix must be square.

>> T=pinv(A)*C

?

T =

?

?? 1.0e+03 *

?

??? 1.2039

??? 0.4852

??? 0.4180

　　上面之例因為A不是方形矩陣，故求其反矩陣時會有錯誤的信息，但若用虛反矩陣指令pinv，反而相安無事，這是將T1、T2以其馀一變數T3表示之情況下，求得其最小平方之組合。其結果是否合用則端視問題之限制與應用而定。 PINV(A,TOL) 之指令後面另有參數TOL，可以輸入容許值。其預設值為MAX(SIZE(A)) * NORM(A) * EPS(class(A))，讀者可參考手冊之說明，以了解其使用方法。

?

inv 與pinv 的區別

對于非奇異且不接近奇異的方陣兩個命令輸出結果相同，但是對于接近奇異的矩陣使用兩個命令結果卻不同，

1.對于方陣A，如果為非奇異方陣，則存在逆矩陣inv(A)
2.對于奇異矩陣或者非方陣，并不存在逆矩陣，但可以使用pinv(A)求其偽逆

?

Matlab中的‘\ ’和‘/’和pinv的關系以及運算

　　當A是N階方陣B為N行的列向量時，X=A\B就是線性方程組A*X=B的解，算法是用高斯消去法。A\EYE(SIZE(A))產生的是方陣A的逆矩陣。

　　如果A是M*N的矩陣且M≠N，B是跟A行數(M行)相同的列向量時，X=A\B是非滿秩的線性方程組A*X=B的解系，A的秩K由QR分解得出。如果K<N通常結果與PINV(A)*B不等(PINV(A)是求A的廣義逆矩陣)。 A\EYE(SIZE(A))得到的是A的廣義逆矩陣。

?

　　總而言之，A\B就是求A*X=B的解，你可以看作是A的逆矩陣，只不過是廣義逆矩陣，這樣A不是方陣也可以計算的。

?

　　至于A/B，在解線性方程組上比\少用一些，因為通常都把B寫成列向量，所以用反除\就可以了。用/的話，B通常是行向量。

可以把B/A看作是X*A=B的解，這里B的列數等于A的列數。

?

A\B=pinv(A)*B?

A/B=A*pinv(B)

可見，'\'用的是高斯消元法。

虛反矩陣指令pinv之應用