一、基本描述

類似于回溯法，也是一種在問題的解空間樹T上搜索問題解的算法。但在一般情況下，分支限界法與回溯法的求解目標不同。 回溯法 的求解目標是找出T中滿足約束條件的 所有解 ，而 分支限界法 的求解目標則是找出 滿足約束條件的一個解 ，或是在滿足約束條件的解中找出使某一目標函數值達到 極大或極小的解 ，即在某種意義下的 最優解 。

（1）分支搜索算法

所謂“分支”就是采用廣度優先的策略，依次搜索E-結點的所有分支，也就是所有相鄰結點，拋棄不滿足約束條件的結點，其余結點加入活結點表。然后從表中選擇一個結點作為下一個E-結點，繼續搜索。

選擇下一個E-結點的方式不同，則會有幾種不同的分支搜索方式。

1）FIFO搜索

2）LIFO搜索

3）優先隊列式搜索

（2）分支限界搜索算法

二、分支限界法的一般過程

由于求解目標不同，導致分支限界法與回溯法在解空間樹T上的搜索方式也不相同。 回溯法以深度優先的方式搜索解空間樹T ，而 分支限界法則以廣度優先或以最小耗費優先的方式搜索解空間樹T 。

分支限界法的 搜索策略是 ：在擴展結點處，先生成其所有的兒子結點（分支），然后再從當前的活結點表中選擇下一個擴展對點。為了有效地選擇下一擴展結點，以加速搜索的進程，在每一活結點處，計算一個函數值（限界），并根據這些已計算出的函數值，從當前活結點表中選擇一個最有利的結點作為擴展結點，使搜索朝著解空間樹上有最優解的分支推進，以便盡快地找出一個最優解。

分支限界法常以廣度優先或以最小耗費（最大效益）優先的方式搜索問題的解空間樹。問題的 解空間樹是表示問題解空間的一棵有序樹，常見的有子集樹和排列樹 。在搜索問題的解空間樹時，分支限界法與回溯法對當前擴展結點所使用的擴展方式不同。在分支限界法中，每一個活結點只有一次機會成為擴展結點。活結點一旦成為擴展結點，就一次性產生其所有兒子結點。在這些兒子結點中，那些導致不可行解或導致非最優解的兒子結點被舍棄，其余兒子結點被子加入活結點表中。此后，從活結點表中取下一結點成為當前擴展結點，并重復上述結點擴展過程。這個過程一直持續到找到所求的解或活結點表為空時為止。

三、回溯法和分支限界法的一些區別

有一些問題其實無論用回溯法還是分支限界法都可以得到很好的解決，但是另外一些則不然。也許我們需要具體一些的分析——到底何時使用分支限界而何時使用回溯呢？

回溯法和分支限界法的一些區別：

方法對解空間樹的搜索方式 存儲 結點的常用數據結構 結點 存儲 特性常用應用

回溯法深度優先搜索堆棧活結點的所有可行子結點被遍歷后才被從棧中彈出找出滿足約束條件的所有解

分支限界法廣度優先或最小消耗優先搜索隊列、優先隊列每個結點只有一次成為活結點的機會找出滿足約束條件的一個解或特定意義下的最優解

旅行售貨員問題用回溯法貌似更容易實現一些，網上代碼很多。這里給出用分支限界法的java實現。

四、應用示例

問題描述：
某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程（或旅費）。他要選定一條從駐地出發，經過每個城市一遍，最后回到駐地的路線，使總的路程（或旅費）最小。各個城市之間可能是有向連通的、無向連通的、以及存在某個城市不連通的情況，你的程序應該能夠處理所有可能的情況。如下圖表示各個城市間無向連通。










輸入：

第一行為一個整數 n(n<=10) ，表示城市的總個數。接下來是一個 n*n 的矩陣，用來表示城市間的連通情況以及花費，例如 path[i][j]=len ， len=-1 表示從城市 i 到城市 j 沒有通路， len>0 表示從 i 到 j 的路程長度為 len 。對于上面圖示的問題我們可以 按照下面方式 輸入：

4
-13064
30-1510
65-120
41020-1

輸出：

輸出占一行，對于給定的問題，如果找到了最小路程（花費），輸出該最小花費，如果沒有通路可以到達每個城市，則輸出 -1 。

輸入樣例：

4
-13064
30-1510
65-120
41020-1

輸出樣例：

25

代碼：

//旅行售貨員問題，用分支限界法實現 2010-10-28

import java.util.Scanner;

public class Main
{

//Main
public static void main(String args[])
{
Scanner s=new Scanner(System.in);
int n=0;//結點的個數
String line=s.nextLine();//讀入n
n=Integer.parseInt(line);
a=new float[n][n];
int []vv=new int[n];

for(int i=0;i<n;i++)
{
line=s.nextLine();
String []sArray=line.split(" ");
for(int j=0;j<sArray.length;j++)
{
a[i][j]=Integer.parseInt(sArray[j]);
}
}
System.out.println(bbTsp(vv));
}//Main


static float [][]a;//圖的鄰接矩陣
//static float a[][]={{-1,-1,-1,2},{2,-1,-1,-1},{1,3,-1,-1},{-1,-1,1,-1}};
//static float a[][]={{-1,30,6,4},{30,-1,5,10},{6,5,-1,20},{4,10,20,-1}};
//static float a[][]={{5,5,5,5},{5,5,5,5},{5,5,5,5},{5,5,5,5}};

private static class HeapNode implements Comparable
{
float lcost,//子樹費用下界
cc,//當前費用
rcost;//X[s:n-1]中頂點最小出邊費用和
int s;//根節點到當前結點的路徑為X[0:s]
int []x;//需要進一步搜索的結點是x[s+1:n-1]

//HeapNode的構造函數
HeapNode(float lc,float ccc,float rc,int ss,int []xx)
{
lcost=lc;
cc=ccc;
s=ss;
x=xx;
}//HeapNode 構造函數

public int compareTo(Object x)
{
float xlc=((HeapNode)x).lcost;
if(lcost<xlc)
return -1;
if(lcost==xlc)
return 0;
return 1;
}

}//class HeapNode

public static int bbTsp(int []v)
{
int n=v.length;
MinHeap heap=new MinHeap(100);
float []minOut=new float[n];//minOut[i]是頂點i的最小出邊費用
float minSum=0;//最小出邊費用和

//計算最小出邊費用和
for(int i=0;i<n;i++)
{
float min=Float.MAX_VALUE;
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(a[i][j]!=-1&&a[i][j]<min)
min=a[i][j];//有回路
}//for j

if(min==Float.MAX_VALUE)
{
return -1;//無回路
}//if

minOut[i]=min;
minSum+=min;
}//for i

//初始化
int []x=new int[n];
for(int i=0;i<n;i++)
{
x[i]=i;
}
HeapNode enode=new HeapNode(0,0,minSum,0,x);
float bestc=Float.MAX_VALUE;

//搜索排列空間樹
while(enode!=null&&enode.s<n-1)
{
//System.out.println(bestc);
x=enode.x;
if(enode.s==n-2)//葉子結點
{
if(a[x[n-2]][x[n-1]]!=-1&&
a[x[n-1]][1]!=-1||
bestc==Float.MAX_VALUE)//當前最優解還不存在的情況
{
bestc=enode.cc+a[x[n-2]][x[n-1]]+a[x[n-1]][0];
enode.cc=bestc;
enode.lcost=bestc;
enode.s++;
heap.put(enode);
}
}//if(enode.s==n-2)

//if(enode.s!=n-2)
else
{
for(int i=enode.s+1;i<n;i++)
{
if(a[x[enode.s]][x[i]]!=-1)
{
float cc=enode.cc+a[x[enode.s]][x[i]];
float rcost=enode.rcost-minOut[x[enode.s]];
float b=cc+rcost;
if(b<bestc)
{
int []xx=new int[n];
for(int j=0;j<n;j++)
xx[j]=x[j];
xx[enode.s+1]=x[i];
xx[i]=x[enode.s+1];
HeapNode node=new HeapNode(b,cc,rcost,enode.s+1,xx);
heap.put(node);
}//if(b<bestc)
}//if 可行兒子結點
}//for
}//else,if(enode.s!=n-2)

enode=(HeapNode)heap.removeMin();
}//while
for(int i=0;i<n;i++)
v[i]=x[i];
return (int)bestc;
}//Class bbTsp



//構造最小堆
public static class MinHeap
{
private HeapNode[] heapArray; // 堆容器
private int maxSize; // 堆的最大大小
private int currentSize=0; // 堆大小

//構造函數
public MinHeap(int _maxSize)
{
maxSize = _maxSize;
heapArray = new HeapNode[maxSize];
currentSize = 0;
}

//自上而下調整
public void filterDown(int start, int endOfHeap)
{
int i = start;
int j = 2 * i + 1; // j是i的左子女位置
HeapNode temp = heapArray[i];

while (j <= endOfHeap)
{ // 檢查是否到最后位置
if (j < endOfHeap // 讓j指向兩子女中的小者
&& heapArray[j].cc > heapArray[j + 1].cc)
{
j++;
}
if (temp.cc <= heapArray[j].cc)
{ // 小則不做調整
break;
} else
{ // 否則小者上移，i，j下降
heapArray[i] = heapArray[j];
i = j;
j = 2 * j + 1;
}
}
heapArray[i] = temp;
}//filterDown

//自下而上的調整:從結點start開始到0為止，自下向上比較，如果子女的值小于雙親結點的值則互相交換
public void filterUp(int start)
{
int j = start;
int i = (j - 1) / 2;
HeapNode temp = heapArray[j];

while (j > 0)
{ // 沿雙親結點路徑向上直達根節點
if (heapArray[i].cc <= temp.cc)
{// 雙親結點值小，不調整
break;
} else {// 雙親結點值大，調整
heapArray[j] = heapArray[i];
j = i;
i = (i - 1) / 2;
}
heapArray[j] = temp; // 回送
}
}//filterUp

//插入結點
public void put(HeapNode node)
{
HeapNode newNode = node;
heapArray[currentSize] = newNode;
filterUp(currentSize);
currentSize++;

}//put

//刪除堆中的最小值
public HeapNode removeMin()
{
HeapNode root = heapArray[0];
heapArray[0] = heapArray[currentSize - 1];
currentSize--;
filterDown(0, currentSize - 1);
return root;
}
}//class MinHeap
}//class Main

常用算法五（分支限界法）